Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Bij een inhoudsanalyse controleer je de interbeoordelaarsbetrouwbaarheid door:

ATwee onderzoekers hetzelfde materiaal te laten coderen en de resultaten te vergelijken
BDeelnemers achteraf te vragen of de codering van hun materiaal door de onderzoeker klopt
CHet materiaal op één dag twee keer te coderen
DEen grotere steekproef van materiaal te gebruiken

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker vergelijkt drie of meer groepsgemiddelden. Waarom gebruikt ze een eenweg-ANOVA in plaats van meerdere t-toetsen?

At-toetsen vereisen kwalitatieve data
BANOVA vindt altijd grotere effecten dan de overeenkomstige reeks t-toetsen
CMeerdere t-toetsen verhogen de totale kans op een type I-fout
Dt-toetsen kunnen geen getallen boven 100 aan

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 41, 41, 28, 47, 31, 47.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 92?

μ = 100σ = 10x = 92

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 8 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

8 / 9

P =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 0,5X + 1. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,15, 0,25Y = 0,5X + 1

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 502 en 508 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 508

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 7,4. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval uit dezelfde data?

90%n₁ = 100E₁ = 7,499%

E₂ =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,05 heeft?

p = 0,5E = 0,0590%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −4,74 en de standaardafwijking van de verschillen is 7,9. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = −4,74s_d = 7,9

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 18. In werkelijkheid is het gemiddelde 86,9. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 80μ = 86,9σ = 18n = 36α = 0,01

β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 12?

n = 5ŷ = 12

x =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1002 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 6 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²_crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Twee onderzoekers hetzelfde materiaal te laten coderen en de resultaten te vergelijken

Waarom dit het antwoord is

Als onafhankelijke codeurs voor dezelfde data vergelijkbare codes geven (hoge overeenstemming of correlatie), is het codeerschema betrouwbaar.

Antwoord

A · Twee onderzoekers hetzelfde materiaal te laten coderen en de resultaten te vergelijken

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Meerdere t-toetsen verhogen de totale kans op een type I-fout

Waarom dit het antwoord is

Veel paarsgewijze toetsen vermenigvuldigen de kans op een vals positief. ANOVA toetst alle groepen tegelijk en wordt gevolgd door gecorrigeerde post-hoctoetsen.

Antwoord

C · Meerdere t-toetsen verhogen de totale kans op een type I-fout

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 8,01

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 235/6 = 39,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,833² + 1,833² + (−11,17)² + 7,833² + (−8,167)² + 7,833² = 320,8

Standaardafwijking

s = √(320,8/5) = 8,01

Antwoord

s = 8,01

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7881

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2059

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

Antwoord

P = 0,2059

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 0,5761

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 2,35, Var(X) = 1,328, σ_X = 1,152

Lineaire transformatie

σ_Y = |0,5|·1,152 = 0,5761

Antwoord

σ_Y = 0,5761

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 0,5·2,35 + 1 = 2,175.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,05932

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,2) − Φ(0,05) = 0,5793 − 0,5199 = 0,05932

Antwoord

P = 0,05932

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 166,5 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Terug naar x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Antwoord

x = 166,49 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 11,59

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/100) = 1,566

Nieuwe marge

E₂ = 7,4·1,566 = 11,59

Antwoord

E₂ = 11,59

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,05² = 270,6

Naar boven afronden

n = 271

Antwoord

n = 271

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 7,9/√16 = 1,975

Toetsingsgrootheid

t = −4,74/1,975 = −2,4

Antwoord

t = −2,4

Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 51,04 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 80 + 2,326·3 = 86,98

z onder het ware gemiddelde

z = (86,98 − 86,9)/3 = 0,026

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > 0,026) = 48,96%

β = 100% − 48,96% = 51,04%

Antwoord

β = 51,04%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9931

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 138,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 74/√(40·138,8) = 0,9931

Antwoord

r = 0,9931

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 3,122

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 119/5 = 23,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Regressielijn

b = 164/40 = 4,1

a = 23,8 − 4,1·6 = −0,8

ŷ = −0,8 + 4,1·x

Los op naar x

x = (12 − (−0,8))/4,1 = 3,122

Antwoord

x = 3,122

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 6,061

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 60·45/100 = 27, 60·55/100 = 33

niet-rokers: 40·45/100 = 18, 40·55/100 = 22

Chikwadraatgrootheid

χ² = (33 − 27)²/27 + (27 − 33)²/33 + (12 − 18)²/18 + (28 − 22)²/22

χ² = 6,061

Antwoord

χ² = 6,061

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²_crit = 9,488

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabel

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Antwoord

χ²_crit = 9,488

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology