Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een onderzoeker vergelijkt de agressie van kinderen voor en na de komst van televisie in een afgelegen stadje. De onderzoeker had geen invloed op de komst van televisie. Dit is een:

ANatuurlijk experiment
BLaboratoriumexperiment
CVeldexperiment
DCorrelationele enquête over televisiekijken

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Interpretatieve fenomenologische analyse (IPA) heeft vooral tot doel:

ACausale hypothesen te toetsen met grote steekproeven
BDe frequentie van woorden in teksten te tellen
CReactietijden nauwkeurig te meten
DTe verkennen hoe individuen betekenis geven aan hun eigen geleefde ervaringen

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 55, 51, 48, 42, 20.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 210?

μ = 170σ = 20x = 210

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,1, 0,05

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = −2X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,25, 0,35, 0,1Y = −2X − 3

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9488 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9488

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 25% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 80,5 en standaardafwijking s = 8,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 12x̄ = 80,5s = 8,599%t(11) = 3,106

bovengrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 3,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.

n = 30s = 3,8 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 68,5 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 68,5s = 20n = 64

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 7. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 95%δ = 2σ = 7z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 20?

n = 6ŷ = 20

x =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1202 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Natuurlijk experiment

Waarom dit het antwoord is

In een natuurlijk experiment varieert de OV door gebeurtenissen buiten de controle van de onderzoeker. De ecologische validiteit is hoog, maar aselecte toewijzing is niet mogelijk.

Antwoord

A · Natuurlijk experiment

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Te verkennen hoe individuen betekenis geven aan hun eigen geleefde ervaringen

Waarom dit het antwoord is

IPA bestudeert kleine, homogene steekproeven diepgaand en onderzoekt hoe deelnemers belangrijke ervaringen interpreteren, waarbij de onderzoeker hun betekenisgeving interpreteert.

Antwoord

D · Te verkennen hoe individuen betekenis geven aan hun eigen geleefde ervaringen

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,53

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 254/6 = 42,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−4,333)² + 12,67² + 8,667² + 5,667² + (−0,3333)² + (−22,33)² = 785,3

Standaardafwijking

s = √(785,3/5) = 12,53

Antwoord

s = 12,53

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,228

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,05 = 1,35

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,05 = 3,05

Variantie

Var(X) = 3,05 − 1,35² = 1,228

Antwoord

Var(X) = 1,228

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 2,441

Spreiding van X

μ = 3,1, Var(X) = 1,49, σ_X = 1,221

Lineaire transformatie

σ_Y = |−2|·1,221 = 2,441

Antwoord

σ_Y = 2,441

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = −2·3,1 − 3 = −9,2.

7.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,95

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,9488)/2 = 0,9744

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9744 in de tabel en lees z af.

z = 1,95

Antwoord

z = 1,95

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 173,3 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,25

z uit de tabel

z ≈ −0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Antwoord

x = 173,3 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 88,12

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Foutmarge

E = 3,106·8,5/√12 = 7,621

Interval

80,5 ± 7,621 → [72,88, 88,12]

Antwoord

bovengrens = 88,12

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 5,108 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 29·3,8² = 418,8

Grenzen voor σ²

418,8/45,722 = 9,159

418,8/16,047 = 26,1

Grens voor σ

σ = √26,1 = 5,108 µm

Antwoord

σ = 5,108 µm

95%-interval voor σ: [3,026, 5,108] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Toetsingsgrootheid

t = (68,5 − 75)/2,5 = −2,6

Antwoord

t = −2,6

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 194

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,645)·7/2)² = 193,2

Naar boven afronden

n = 194

Antwoord

n = 194

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,7963

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 41,33

Determinatiecoëfficiënt

r² = −24²/(17,5·41,33) = 0,7963

Antwoord

r² = 0,7963

Ongeveer 79,63% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 5,385

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 141/6 = 23,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32,5

Regressielijn

b = −32,5/17,5 = −1,857

a = 23,5 − (−1,857)·3,5 = 30

ŷ = 30 − 1,857·x

Los op naar x

x = (20 − 30)/(−1,857) = 5,385

Antwoord

x = 5,385

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 3,825

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

stedelijk: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10

landelijk: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20

Chikwadraatgrootheid

χ² = (19 − 20)²/20 + (14 − 10)²/10 + (7 − 10)²/10 + (41 − 40)²/40 + (16 − 20)²/20 + (23 − 20)²/20

χ² = 3,825

Antwoord

χ² = 3,825

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 10,89

Verwachte aantallen

leeftijd 18–30: 32, 48

leeftijd 31–50: 32, 48

leeftijd 51+: 24, 36

Chikwadraatgrootheid

χ² = (42 − 32)²/32 + (38 − 48)²/48 + (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48 + (15 − 24)²/24 + (45 − 36)²/36

χ² = 10,89

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

10,89 > 5,991

Antwoord

χ² = 10,89

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology