Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een cross-sectioneel onderzoek vergelijkt op hetzelfde moment 20-, 40- en 60-jarigen op technologiegebruik. Welk probleem kan de leeftijdsvergelijking verstoren?

  1. AVolgorde-effecten
  2. BCohorteffecten
  3. CVloereffecten
  4. DOefeneffecten
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Effectgroottematen zoals Cohens d worden gerapporteerd omdat ze:

  1. AElke hypothese overbodig maken
  2. BAangeven hoeveel deelnemers afhaakten
  3. CLaten zien hoe groot een effect is, los van de steekproefgrootte
  4. DLaten zien of het resultaat significant is op het gekozen alfaniveau
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
101520253035

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 10, 14, 17, 38, 38.

n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 74?

μ = 70σ = 10x = 74
P =
5.KansrekeningGemiddeld
xp(x)00,320,340,3560,05μ = 2,3

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05
Var(X) =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 12, p = 0,6: P(X = 4) = ?k0123456789101112

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 12p = 0,6k = 4
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
−3−2−10123zgearceerd oppervlak rechts van z = 0,9394

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9394 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9394
z =
8.Normale verdelingMoeilijk
380420460500540580620honder 75%

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 75% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
x̄E₁ = 10,290%, n = 25x̄E₂ = ?95%, n = 50

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 10,2. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval gebaseerd op 50 waarnemingen?

90%n₁ = 25E₁ = 10,295%n₂ = 50
E₂ =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 599%

De standaardafwijking van de populatie is 15. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 15E = 599%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−2,2012,201t = ?df = 11

12 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −7,95 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,2. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.

n = 12d̄ = −7,95sd = 10,2
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,01βσ = 10, onderscheidend vermogen 95%, n = ?

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 10. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 95%δ = 2,5σ = 10zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy2941361682510281234xy510102030

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 125Σx² = 364Σy² = 3071Σxy = 1054
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy1303375427429471152xy510304050ŷ = 34

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 34?

n = 6ŷ = 34
x =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst10203060nachtdienst8282460Totaal184854120

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1202 × 3
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 2 rijen en 11 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Cohorteffecten

Waarom dit het antwoord is

Verschillende leeftijdsgroepen groeiden op onder verschillende historische omstandigheden, zodat verschillen generatie (cohort) kunnen weerspiegelen in plaats van het ouder worden zelf.

Antwoord

B · Cohorteffecten
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Laten zien hoe groot een effect is, los van de steekproefgrootte

Waarom dit het antwoord is

Bij grote steekproeven kunnen piepkleine effecten significant zijn. Effectgroottes drukken de omvang van een verschil uit, bijv. d = 0,2 klein, 0,5 middelgroot, 0,8 groot.

Antwoord

C · Laten zien hoe groot een effect is, los van de steekproefgrootte
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,56

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 117/5 = 23,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13,4)² + (−9,4)² + (−6,4)² + 14,6² + 14,6² = 735,2

Standaardafwijking

s = √(735,2/4) = 13,56

Antwoord

s = 13,56
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3446

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Antwoord

P = 0,3446
5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 3,31

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,05 = 2,3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,05 = 8,6

Variantie

Var(X) = 8,6 − 2,3² = 3,31

Antwoord

Var(X) = 3,31
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,04204

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 495·0,64·0,48 = 495·0,1296·0,0006554 = 0,04204

Antwoord

P = 0,04204
7.Normale verdeling

Antwoord: z = −1,55

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9394 = 0,0606

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0606 in de tabel en lees z af.

z = −1,55

Antwoord

z = −1,55
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 527 h

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,75

z uit de tabel

z ≈ 0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 + 0,67·40 = 527 h

Antwoord

x = 527 h
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 8,594

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/50) = 0,8425

Nieuwe marge

E₂ = 10,2·0,8425 = 8,594

Antwoord

E₂ = 8,594
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 60

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·15/5)² = 59,72

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 60

Antwoord

n = 60
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 10,2/√12 = 2,944

Toetsingsgrootheid

t = −7,95/2,944 = −2,7

Antwoord

t = −2,7

Bij df = 11 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,201; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 253

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,645)·10/2,5)² = 252,3

Naar boven afronden

n = 253

Antwoord

n = 253
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9902

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

Sxy = 1054 − 42·125/6 = 179
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3071 − 125²/6 = 466,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 179/√(70·466,8) = 0,9902

Antwoord

r = 0,9902
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 2,167

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 250/6 = 41,67

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Regressielijn

b = 140/70 = 2
a = 41,67 − 2·6 = 29,67
ŷ = 29,67 + 2·x

Los op naar x

x = (34 − 29,67)/2 = 2,167

Antwoord

x = 2,167
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 2,222

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27
nachtdienst: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27

Chikwadraatgrootheid

χ² = (10 − 9)²/9 + (20 − 24)²/24 + (30 − 27)²/27 + (8 − 9)²/9 + (28 − 24)²/24 + (24 − 27)²/27
χ² = 2,222

Antwoord

χ² = 2,222

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 23,21

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Tabel

χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Antwoord

χ²crit = 23,209

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology