Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde van 50 loopt van 46 tot 54. Wat is de meest accurate interpretatie?

  1. AHet resultaat is niet significant
  2. BDe gebruikte procedure levert intervallen op die in 95% van de gevallen het ware gemiddelde bevatten
  3. C95% van de individuele deelnemers in de steekproef scoorde tussen 46 en 54 op de maat
  4. DEr is 95% kans dat het steekproefgemiddelde 50 is
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

In Milgrams gehoorzaamheidsstudies dachten deelnemers dat ze echte elektrische schokken toedienden. Welk ethisch probleem wordt hierdoor het meest direct opgeroepen, en hoe werd het deels aangepakt?

  1. AGebruik van kinderen, aangepakt met toestemming van ouders
  2. BMisleiding en mogelijke ontreddering, aangepakt met een grondige debriefing
  3. CGebrek aan vertrouwelijkheid, aangepakt door namen te publiceren
  4. DGebrek aan een controlegroep, aangepakt door deelnemers aselect aan condities toe te wijzen
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
152025303540455055

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 57, 11, 20, 48, 46, 37.

n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 64?

μ = 70σ = 5x = 64
P =
5.KansrekeningGemiddeld
xp(x)100,1200,35300,2400,35μ = 28

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35
σ =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 6, p = 0,2: P(X = 3) = ?k0123456

Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 6p = 0,2k = 3
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
32,333,2P = ?

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 32,3 en 33,2 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x1 = 32,3x2 = 33,2
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
0,04 mm0D − d?

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
x̄E₁ = 8,290%, n = 100x̄E₂ = ?95%, n = 25

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 8,2. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval gebaseerd op 25 waarnemingen?

90%n₁ = 100E₁ = 8,295%n₂ = 25
E₂ =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

De standaardafwijking van de populatie is 39. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 39E = 1,599%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −2,01102,011

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 117,9 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,9s = 8n = 49
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 299%
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy143354562771984xy5406080

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5
r² =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy1659196122722580289831109xy152025306080100x = 23,5

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (23,5, 85) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(23,5, 85)
e =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
laagmiddelhoogTotaalstedelijk2481547landelijk11102344Totaal35183891

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “stedelijk, hoog”.

rijtotaal = 47kolomtotaal = 38N = 91
E =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 6 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · De gebruikte procedure levert intervallen op die in 95% van de gevallen het ware gemiddelde bevatten

Waarom dit het antwoord is

Een 95%-BI geeft een reeks plausibele waarden voor de populatieparameter. Smallere intervallen, door grotere steekproeven, betekenen preciezere schattingen.

Antwoord

B · De gebruikte procedure levert intervallen op die in 95% van de gevallen het ware gemiddelde bevatten
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Misleiding en mogelijke ontreddering, aangepakt met een grondige debriefing

Waarom dit het antwoord is

Deelnemers werden misleid over de schokken en velen toonden veel stress. Milgram gaf deelnemers een debriefing en liet hen de "leerling" ontmoeten; een vervolgonderzoek vond dat de meesten blij waren te hebben meegedaan, maar de ethiek blijft omstreden.

Antwoord

B · Misleiding en mogelijke ontreddering, aangepakt met een grondige debriefing
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,69

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 219/6 = 36,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 20,5² + (−25,5)² + (−16,5)² + 11,5² + 9,5² + 0,5² = 1566

Standaardafwijking

s = √(1566/5) = 17,69

Antwoord

s = 17,69
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8849

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Antwoord

P = 0,8849
5.Kansrekening

Antwoord: σ = 10,3

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,1 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,35 = 28

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 890

Variantie

Var(X) = 890 − 28² = 106
σ = √106 = 10,3

Antwoord

σ = 10,3
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,08192

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 3) = 20·0,23·0,83 = 20·0,008·0,512 = 0,08192

Antwoord

P = 0,08192
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,05932

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05
z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,2) − Φ(0,05) = 0,5793 − 0,5199 = 0,05932

Antwoord

P = 0,05932
8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9633

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Antwoord

P = 0,9633
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 19,54

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/25) = 2,383

Nieuwe marge

E₂ = 8,2·2,383 = 19,54

Antwoord

E₂ = 19,54
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 4486

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·39/1,5)² = 4486

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 4486

Antwoord

n = 4486
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,837

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Toetsingsgrootheid

t = (117,9 − 120)/1,143 = −1,837

Antwoord

t = −1,837
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 374

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·15/2)² = 373,3

Naar boven afronden

n = 374

Antwoord

n = 374
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9932

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 314/5 = 62,8

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198
Syy = Σ(y − ȳ)² = 986,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 198²/(40·986,8) = 0,9932

Antwoord

r² = 0,9932

Ongeveer 99,32% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 5,167

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 479/6 = 79,83

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 553,5

Regressielijn

b = 553,5/157,5 = 3,514
a = 79,83 − 3,514·23,5 = −2,752
ŷ = −2,752 + 3,514·x

Voorspelde waarde

ŷ = −2,752 + 3,514·23,5 = 79,83

Residu

e = 85 − 79,83 = 5,167

Antwoord

e = 5,167

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 19,63

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 47·38/91 = 19,63

Antwoord

E = 19,63
16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 15,09

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 = 5

Tabel

χ²crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

Antwoord

χ²crit = 15,086

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology