Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Bij observatieonderzoek betekent event sampling:

ADeelnemers aselect kiezen
BGedrag alleen op vaste tijdsintervallen vastleggen
CElke keer vastleggen dat een omschreven gedrag optreedt
DAlleen gebeurtenissen vastleggen die de deelnemers rapporteren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een factoriële 2 × 3-ANOVA laat zien dat een middel het geheugen verbetert bij jongvolwassenen maar niet bij ouderen. Wat is er gevonden?

AEen vloereffect
BEen interactie tussen middel en leeftijd
CAlleen een hoofdeffect van leeftijd
DEen type I-fout

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 58, 54, 21, 43.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 80?

μ = 70σ = 10x = 80

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 13? De volgorde doet er niet toe.

n = 13k = 5

N =

6.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,2. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,2

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 245,25 en 256,25 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 245,25x₂ = 256,25

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 5% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 items heeft gemiddelde 99,5 en standaardafwijking s = 10,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 25x̄ = 99,5s = 10,590%t(24) = 1,711

bovengrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?

σ = 32E = 2,590%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

8 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −3,36 en de standaardafwijking van de verschillen is 5. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = −3,36s_d = 5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 1,595%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 64?

n = 6ŷ = 64

x =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2202 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 7 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 7

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Elke keer vastleggen dat een omschreven gedrag optreedt

Waarom dit het antwoord is

Event sampling telt elk optreden van het doelgedrag. Time sampling legt vast wat er op vaste intervallen gebeurt, bijvoorbeeld elke 30 seconden.

Antwoord

C · Elke keer vastleggen dat een omschreven gedrag optreedt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Een interactie tussen middel en leeftijd

Waarom dit het antwoord is

Er is sprake van interactie als het effect van de ene factor verschilt over de niveaus van een andere. Hier hangt het effect van het middel af van de leeftijdsgroep.

Antwoord

B · Een interactie tussen middel en leeftijd

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,92

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 229/5 = 45,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 7,2² + 12,2² + 8,2² + (−24,8)² + (−2,8)² = 890,8

Standaardafwijking

s = √(890,8/4) = 14,92

Antwoord

s = 14,92

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8413

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

5.Kansrekening

Antwoord: N = 1287

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Antwoord

N = 1287

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,4362

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Tel ze op

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Antwoord

P = 0,4362

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7233

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−0,95) = 0,8944 − 0,1711 = 0,7233

Antwoord

P = 0,7233

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 189,5 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Antwoord

x = 189,5 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 103,1

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Foutmarge

E = 1,711·10,5/√25 = 3,593

Interval

99,5 ± 3,593 → [95,91, 103,1]

Antwoord

bovengrens = 103,1

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 444

n oplossen

n = (1,645·32/2,5)² = 443,4

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 444

Antwoord

n = 444

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,901

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 5/√8 = 1,768

Toetsingsgrootheid

t = −3,36/1,768 = −1,901

Antwoord

t = −1,901

Bij df = 7 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,365; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 385

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,96·15/1,5)² = 384,2

Naar boven afronden

n = 385

Antwoord

n = 385

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9271

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 95/5 = 19

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 42

Correlatiecoëfficiënt

r = −19/√(10·42) = −0,9271

Antwoord

r = −0,9271

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,109

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 425/6 = 70,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253

Regressielijn

b = 253/70 = 3,614

a = 70,83 − 3,614·6 = 49,15

ŷ = 49,15 + 3,614·x

Los op naar x

x = (64 − 49,15)/3,614 = 4,109

Antwoord

x = 4,109

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 10,62

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

studenten: 100·66/220 = 30, 100·66/220 = 30, 100·88/220 = 40

personeel: 120·66/220 = 36, 120·66/220 = 36, 120·88/220 = 48

Chikwadraatgrootheid

χ² = (19 − 30)²/30 + (34 − 30)²/30 + (47 − 40)²/40 + (47 − 36)²/36 + (32 − 36)²/36 + (41 − 48)²/48

χ² = 10,62

Antwoord

χ² = 10,62

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 5

Vrijheidsgraden

df = 7 − 1 − 1 = 5

Antwoord

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology