Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een student scoort 130 op een test met gemiddelde 100 en standaarddeviatie 15. Wat is de z-score?

A2,0
B3,0
C1,5
D0,5

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een meta-analyse combineert 40 studies naar een therapie. Waarom kan de totale effectgrootte toch te groot zijn?

AHet combineren van studies haalt altijd alle bias weg
BMeta-analyses kunnen geen gerandomiseerde trials bevatten
CDoor publicatiebias kunnen ongepubliceerde nulstudies ontbreken
DMeta-analyses geven altijd kleinere effecten dan de afzonderlijke studies die ze bevatten

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 46, 30, 17, 45, 38.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 20?

μ = 50σ = 20x = 20

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 5

P =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?

n = 11p = 0,6k = 2

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 735,2 g. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 735,2 g

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 8,3. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 200 waarnemingen gebruikt?

99%n₁ = 100E₁ = 8,3n₂ = 200

E₂ =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 6 proefvelden, gemiddelde opbrengst 18,5 kg, standaardafwijking 6,5 kg. Groep 2: 11 proefvelden, gemiddelde 25,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 18,5s₁ = 6,5n₂ = 11x̄₂ = 25,5s₂ = 795%t(15) = 2,131

bovengrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 70,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 13 mm. Lijn 2: een steekproef van 50 onderdelen heeft gemiddelde 67,5 mm, bekende standaardafwijking 17 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 70,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 50x̄₂ = 67,5 mmσ₂ = 17 mm

z =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 500 tegen H₁: μ < 500 wordt uitgevoerd bij α = 0.10 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 495.35. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 500μ = 495,35σ = 15n = 100α = 0,10

β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 17.

n = 6x = 17

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “dagdienst, geen defect”.

rijtotaal = 55kolomtotaal = 64N = 146

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 5 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 5

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · 2,0

Waarom dit het antwoord is

(130 − 100) / 15 = 2. De score ligt twee standaarddeviaties boven het gemiddelde, hoger dan die van ongeveer 97–98% van de mensen.

Antwoord

A · 2,0

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Door publicatiebias kunnen ongepubliceerde nulstudies ontbreken

Waarom dit het antwoord is

Als nulresultaten minder vaak worden gepubliceerd, wordt het gepoolde effect opgeblazen. Funnelplots en het zoeken naar ongepubliceerde data helpen dit op te sporen en te verminderen.

Antwoord

C · Door publicatiebias kunnen ongepubliceerde nulstudies ontbreken

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,77

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 210/6 = 35

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 11² + (−5)² + (−18)² + 10² + 3² = 580

Standaardafwijking

s = √(580/5) = 10,77

Antwoord

s = 10,77

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = −1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,5981

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Antwoord

P = 0,5981

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,00519

Binomiale formule

P(X = 2) = 55·0,6²·0,4⁹ = 55·0,36·0,0002621 = 0,00519

Antwoord

P = 0,00519

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9332

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7389

Verdeling van het verschil

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaardiseren

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Antwoord

P = 0,7389

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 5,869

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071

Nieuwe marge

E₂ = 8,3·0,7071 = 5,869

Antwoord

E₂ = 5,869

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 0,3948 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (5·6,5² + 10·7²)/15 = 46,75

s_p = 6,837

Foutmarge

E = 2,131·6,837·√(1/6 + 1/11) = 7,395

Interval

−7 ± 7,395 → [−14,39, 0,3948]

Antwoord

bovengrens = 0,3948 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,888

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(13²/30 + 17²/50) = √11,41 = 3,378

Toetsingsgrootheid

z = (70,5 − 67,5)/3,378 = 0,888

Antwoord

z = 0,888

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 3,453 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 500 − 1,282·1,5 = 498,1

z onder het ware gemiddelde

z = (498,1 − 495,35)/1,5 = 1,818

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.818) = 96.55%

β = 100% − 96,55% = 3,453%

Antwoord

β = 3,453%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9905

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 84/5 = 16,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 254,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 100/√(40·254,8) = 0,9905

Antwoord

r = 0,9905

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 51,63

Gemiddelden

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 437/6 = 72,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371

Regressielijn

b = 371/70 = 5,3

a = 72,83 − 5,3·21 = −38,47

ŷ = −38,47 + 5,3·x

Voorspelling

ŷ = −38,47 + 5,3·17 = 51,63

Antwoord

ŷ = 51,63

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 24,11

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 55·64/146 = 24,11

Antwoord

E = 24,11

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 4

Vrijheidsgraden

df = 5 − 1 = 4

Antwoord

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology