Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Split-halfbetrouwbaarheid houdt in:

ATwee helften van de steekproef op verschillende momenten testen
BTwee observatoren elk de helft van de sessies laten doen
CDe steekproef splitsen in een experimentele en een controlegroep en hun scores vergelijken
DScores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Na het analyseren van de data schrijft een onderzoeker de inleiding alsof een onverwachte bevinding al die tijd voorspeld was. Dit heet:

AOperationalisatie
BDebriefing
CCounterbalancing
DHARKing (hypothesising after the results are known)

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 40, 13, 22, 19, 22.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 66.

μ = 60σ = 15x = 66

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 10. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3Y = 3X + 10

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 32 en 36,8 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 36,8

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 111,5 en standaardafwijking s = 4,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 16x̄ = 111,5s = 4,599%t(15) = 2,947

bovengrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 16 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 6,3 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 15 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 6,262 en 2,5% boven 27,488.

n = 16s = 6,3 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 6 studenten, gemiddelde score 46,5, standaardafwijking 5,5. Groep 2: 6 studenten, gemiddelde score 42,8, standaardafwijking 3,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 6x̄₁ = 46,5s₁ = 5,5n₂ = 6x̄₂ = 42,8s₂ = 3,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 75,3. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 75,3σ = 20n = 4999%

L =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 90Σx² = 364Σy² = 1618Σxy = 764

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1602 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

Waarom dit het antwoord is

Als beide helften hetzelfde construct meten, moeten de scores erop sterk correleren. Cronbachs alfa breidt dit idee uit naar alle mogelijke splitsingen.

Antwoord

D · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · HARKing (hypothesising after the results are known)

Waarom dit het antwoord is

HARKing presenteert exploratieve resultaten als confirmatief, waardoor bevindingen robuuster lijken dan ze zijn. Het draagt bij aan de replicatiecrisis.

Antwoord

D · HARKing (hypothesising after the results are known)

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,08

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 116/5 = 23,2

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 16,8² + (−10,2)² + (−1,2)² + (−4,2)² + (−1,2)² = 406,8

Standaardafwijking

s = √(406,8/4) = 10,08

Antwoord

s = 10,08

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (66 − 60)/15 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,062

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 = 1,35

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 = 2,95

Variantie

Var(X) = 2,95 − 1,35² = 1,127

σ = √1,127 = 1,062

Antwoord

σ = 1,062

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 3,686

Spreiding van X

μ = 1,3, Var(X) = 1,51, σ_X = 1,229

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·1,229 = 3,686

Antwoord

σ_Y = 3,686

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1,3 + 10 = 13,9.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2881

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,8) − Φ(0) = 0,7881 − 0,5 = 0,2881

Antwoord

P = 0,2881

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 37,05 min

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Antwoord

x = 37,05 min

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 114,8

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Foutmarge

E = 2,947·4,5/√16 = 3,315

Interval

111,5 ± 3,315 → [108,2, 114,8]

Antwoord

bovengrens = 114,8

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 9,751 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 15·6,3² = 595,4

Grenzen voor σ²

595,4/27,488 = 21,66

595,4/6,262 = 95,07

Grens voor σ

σ = √95,07 = 9,751 µm

Antwoord

σ = 9,751 µm

95%-interval voor σ: [4,654, 9,751] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,39

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (5·5,5² + 5·3,5²)/10 = 21,25

s_p = 4,61

Standaardfout

SE = 4,61·√(1/6 + 1/6) = 2,661

Toetsingsgrootheid

t = (46,5 − 42,8)/2,661 = 1,39

Antwoord

t = 1,39

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 67,94

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·20/√49 = 7,36

Intervalgrens

L = 75,3 − 7,36 = 67,94

Antwoord

L = 67,94

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9783

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 764 − 42·90/6 = 134

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1618 − 90²/6 = 268

Correlatiecoëfficiënt

r = 134/√(70·268) = 0,9783

Antwoord

r = 0,9783

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 60,6

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 261/5 = 52,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Regressielijn

b = 112/40 = 2,8

a = 52,2 − 2,8·6 = 35,4

ŷ = 35,4 + 2,8·x

Voorspelling

ŷ = 35,4 + 2,8·9 = 60,6

Antwoord

ŷ = 60,6

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 4,583

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

studenten: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32

personeel: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32

Chikwadraatgrootheid

χ² = (30 − 24)²/24 + (20 − 24)²/24 + (30 − 32)²/32 + (18 − 24)²/24 + (28 − 24)²/24 + (34 − 32)²/32

χ² = 4,583

Antwoord

χ² = 4,583

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 12,68

Verwachte aantallen

leeftijd 18–30: 80, 20

leeftijd 31–50: 48, 12

leeftijd 51+: 64, 16

Chikwadraatgrootheid

χ² = (70 − 80)²/80 + (30 − 20)²/20 + (49 − 48)²/48 + (11 − 12)²/12 + (73 − 64)²/64 + (7 − 16)²/16

χ² = 12,68

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

12,68 > 5,991

Antwoord

χ² = 12,68

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology