Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Operationaliseren betekent:

AVariabelen precies en meetbaar definiëren
BDeelnemers instructies geven
CEen statistische toets kiezen
DHet onderzoek uitvoeren in een echte praktijksituatie, zoals een ziekenhuis

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoek rapporteert t(28) = 2,50, p = .018 voor twee onafhankelijke groepen van gelijke grootte. Hoeveel deelnemers deden er mee?

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 26, 53, 12, 11.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 90,4?

μ = 100σ = 12x = 90,4

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 12? De volgorde doet er niet toe.

n = 12k = 2

N =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,05, 0,2Y = 10X + 20

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 30,5 en 35,3 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 35,3

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 25% ervan ligt (het 25e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 4,9. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval gebaseerd op 324 waarnemingen?

95%n₁ = 36E₁ = 4,990%n₂ = 324

E₂ =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 19 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 22,5 kg, standaardafwijking 3 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 19s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 22,5s₂ = 395%t(14) = 2,145

bovengrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 2,5. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 48,82. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ < 50. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 50σ = 2,5n = 25x̄ = 48,82H₁: μ < μ₀

p =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 98,4. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 98,4σ = 5n = 8199%

U =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 366Σx² = 364Σy² = 24372Σxy = 2940

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 12) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(9, 12)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “studenten, fiets”.

rijtotaal = 83kolomtotaal = 69N = 167

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 3 rijen en 6 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²_crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Variabelen precies en meetbaar definiëren

Waarom dit het antwoord is

Operationaliseren maakt van abstracte begrippen concrete metingen, zodat onderzoek herhaald kan worden.

Antwoord

A · Variabelen precies en meetbaar definiëren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · 30

Waarom dit het antwoord is

28 vrijheidsgraden betekenen 28 + 2 = 30 deelnemers, 15 in elke groep.

Antwoord

A · 30

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,07

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 123/5 = 24,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−3,6)² + 1,4² + 28,4² + (−12,6)² + (−13,6)² = 1165

Standaardafwijking

s = √(1165/4) = 17,07

Antwoord

s = 17,07

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

5.Kansrekening

Antwoord: N = 66

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Antwoord

N = 66

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 13,52

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 2,85, Var(X) = 1,828, σ_X = 1,352

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,352 = 13,52

Antwoord

σ_Y = 13,52

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·2,85 + 20 = 48,5.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3075

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,55) − Φ(−0,25) = 0,7088 − 0,4013 = 0,3075

Antwoord

P = 0,3075

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 27,95 min

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Terug naar x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Antwoord

x = 27,95 min

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 1,371

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/324) = 0,2798

Nieuwe marge

E₂ = 4,9·0,2798 = 1,371

Antwoord

E₂ = 1,371

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 0,1886 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (9·3,5² + 5·3²)/14 = 11,09

s_p = 3,33

Foutmarge

E = 2,145·3,33·√(1/10 + 1/6) = 3,689

Interval

−3,5 ± 3,689 → [−7,189, 0,1886]

Antwoord

bovengrens = 0,1886 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,009137

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5

z = (48,82 − 50)/0,5 = −2,36

Staartoppervlakte

Φ(2,36) = 0,9909

1 − Φ(2,36) = 0,0091

p-waarde

p = 0,009137

Antwoord

p = 0,009137

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 99,83

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·5/√81 = 1,431

Intervalgrens

U = 98,4 + 1,431 = 99,83

Antwoord

U = 99,83

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9988

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 2940 − 42·366/6 = 378

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 24372 − 366²/6 = 2046

Correlatiecoëfficiënt

r = 378/√(70·2046) = 0,9988

Antwoord

r = 0,9988

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −1,6

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 47/5 = 9,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Regressielijn

b = 56/40 = 1,4

a = 9,4 − 1,4·6 = 1

ŷ = 1 + 1,4·x

Voorspelde waarde

ŷ = 1 + 1,4·9 = 13,6

Residu

e = 12 − 13,6 = −1,6

Antwoord

e = −1,6

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 34,29

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 83·69/167 = 34,29

Antwoord

E = 34,29

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²_crit = 23,21

Vrijheidsgraden

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Tabel

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Antwoord

χ²_crit = 23,209

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology