Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Waarom worden gedragscategorieën bij een observatie geoperationaliseerd vóór de dataverzameling?

AZodat deelnemers precies weten wat er wordt vastgelegd
BZodat observatoren dezelfde gedragingen consistent vastleggen, wat de betrouwbaarheid verbetert
CZodat de hypothese kan worden aangepast nadat de data zijn bekeken
DZodat de observatie een experiment wordt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een studie vindt dat studenten die meer slapen hogere cijfers halen. Welke designwijziging maakt een causale conclusie het best mogelijk?

AStudenten hun slaap twee keer laten rapporteren en de twee rapporten middelen
BStudenten aselect toewijzen aan verschillende slaapschema's
CCijfers nauwkeuriger meten
DMeer studenten ondervragen

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 16, 21, 14, 31.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 118?

μ = 100σ = 12x = 118

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €9 met kans 0,25 en €30 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€9: p = 0,25€30: p = 0,01

E(G) = €

7.Normale verdelingGemiddeld

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 178,35 en 183,6 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x₁ = 178,35x₂ = 183,6

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 6 items heeft gemiddelde 74 en standaardafwijking s = 11,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 6x̄ = 74s = 11,590%t(5) = 2,015

ondergrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 81,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 85 kg, standaardafwijking 9 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 81,5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 85s₂ = 995%t(12) = 2,179

E = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 93,5, standaardafwijking 4,5. Groep 2: 8 studenten, gemiddelde score 95,5, standaardafwijking 5,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 8x̄₁ = 93,5s₁ = 4,5n₂ = 8x̄₂ = 95,5s₂ = 5,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 75,7. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 75,7σ = 8n = 4999%

U =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 24?

n = 6ŷ = 24

x =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, geen defect”.

rijtotaal = 86kolomtotaal = 67N = 188

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Zodat observatoren dezelfde gedragingen consistent vastleggen, wat de betrouwbaarheid verbetert

Waarom dit het antwoord is

Duidelijke, waarneembare categorieën (bijvoorbeeld "slaat met de vlakke hand") verminderen subjectief oordelen en verhogen de interbeoordelaarsbetrouwbaarheid.

Antwoord

B · Zodat observatoren dezelfde gedragingen consistent vastleggen, wat de betrouwbaarheid verbetert

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Studenten aselect toewijzen aan verschillende slaapschema's

Waarom dit het antwoord is

Alleen het manipuleren van slaap met aselecte toewijzing controleert derde variabelen en maakt causale conclusies mogelijk, binnen ethische grenzen.

Antwoord

B · Studenten aselect toewijzen aan verschillende slaapschema's

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,22

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 120/5 = 24

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 14² + (−8)² + (−3)² + (−10)² + 7² = 418

Standaardafwijking

s = √(418/4) = 10,22

Antwoord

s = 10,22

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 88,75

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,1 = 22,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,1 = 595

Variantie

Var(X) = 595 − 22,5² = 88,75

Antwoord

Var(X) = 88,75

6.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −0,45 €

Netto-uitkomsten

G: 6 (p = 0,25), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,74)

Verwachtingswaarde

E(G) = 6·0,25 + 27·0,01 − 3·0,74 = −0,45 €

Antwoord

E(G) = −0,45 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2682

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05

z₂ = (183,6 − 178)/7 = 0,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,8) − Φ(0,05) = 0,7881 − 0,5199 = 0,2682

Antwoord

P = 0,2682

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 194,3 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Terug naar x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Antwoord

x = 194,28 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 64,54

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Foutmarge

E = 2,015·11,5/√6 = 9,46

Interval

74 ± 9,46 → [64,54, 83,46]

Antwoord

ondergrens = 64,54

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 9,388 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (8·7² + 4·9²)/12 = 59,67

s_p = 7,724

Foutmarge

E = 2,179·7,724·√(1/9 + 1/5) = 9,388

Antwoord

E = 9,388 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,796

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (7·4,5² + 7·5,5²)/14 = 25,25

s_p = 5,025

Standaardfout

SE = 5,025·√(1/8 + 1/8) = 2,512

Toetsingsgrootheid

t = (93,5 − 95,5)/2,512 = −0,796

Antwoord

t = −0,796

Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 78,64

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Intervalgrens

U = 75,7 + 2,944 = 78,64

Antwoord

U = 78,64

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,884

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 57,33

Correlatiecoëfficiënt

r = −28/√(17,5·57,33) = −0,884

Antwoord

r = −0,884

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 8,821

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 117/6 = 19,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 173

Regressielijn

b = 173/70 = 2,471

a = 19,5 − 2,471·7 = 2,2

ŷ = 2,2 + 2,471·x

Los op naar x

x = (24 − 2,2)/2,471 = 8,821

Antwoord

x = 8,821

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 30,65

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 86·67/188 = 30,65

Antwoord

E = 30,65

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 2,857

Verwachte aantallen

lijn 1: 12, 28

lijn 2: 24, 56

lijn 3: 30, 70

Chikwadraatgrootheid

χ² = (8 − 12)²/12 + (32 − 28)²/28 + (28 − 24)²/24 + (52 − 56)²/56 + (30 − 30)²/30 + (70 − 70)²/70

χ² = 2,857

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,857 < 9,210

Antwoord

χ² = 2,857

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology