Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Proefleiderbias wordt het meest direct verminderd door:

  1. AAlleen vrijwilligers te gebruiken
  2. BEen grotere steekproef te gebruiken
  3. CData te laten verzamelen door een onderzoeker die de hypothese of de condities niet kent
  4. DEen eenzijdige hypothese te gebruiken
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker meet het effect van lawaai op concentratie. Deelnemers in de lawaaiconditie werden toevallig 's ochtends getest en die in de stille conditie 's middags. Wat is het probleem?

  1. ADe data zijn van nominaal niveau
  2. BHet tijdstip van de dag is de afhankelijke variabele
  3. CHet tijdstip van de dag is een confounder
  4. DHet onderzoek heeft te veel condities
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
2025303540455055

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 51, 21, 55, 49, 16.

n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Welk deel P van de waarden ligt onder 510?

μ = 500σ = 25x = 510
P =
5.KansrekeningGemiddeld
n = 10k = 5N = ?

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 10? De volgorde doet er niet toe.

n = 10k = 5
N =
6.KansrekeningMoeilijk
€p(x)−10,6530,3490,05

Een spel kost €1 inzet. Je wint €4 met kans 0,3 en €50 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €1€4: p = 0,3€50: p = 0,05
E(G) = €
7.Normale verdelingGemiddeld
57,585,5P = ?

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 57,5 en 85,5 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x1 = 57,5x2 = 85,5
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
μ = 500x = ?10%

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 6, s = 9LUx̄ = 60,5E = ?99%

Een steekproef van 6 items heeft gemiddelde 60,5 en standaardafwijking s = 9. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 6x̄ = 60,5s = 999%t(5) = 4,032
E =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₁ − μ₂, t(15) = 2,1310LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 73,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 8 proefvelden, gemiddelde 66 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 73,5s₁ = 9,5n₂ = 8x̄₂ = 66s₂ = 795%t(15) = 2,131
E = kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −1,98401,984

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 120,7 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,7s = 10n = 100
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1α = 0,05βσ = 4, onderscheidend vermogen 90%, n = ?

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 4. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 90%δ = 1σ = 4zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy249353449560661769xy246506070

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy25466128161015xy51051015x = 9

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.

n = 5x = 9
ŷ =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst363054120nachtdienst364242120Totaal727296240

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2402 × 3
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 11 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Data te laten verzamelen door een onderzoeker die de hypothese of de condities niet kent

Waarom dit het antwoord is

Proefleiders die de hypothese kennen, kunnen deelnemers of registraties onbedoeld beïnvloeden. Enkel- of dubbelblinde procedures en gestandaardiseerde instructies verminderen dit.

Antwoord

C · Data te laten verzamelen door een onderzoeker die de hypothese of de condities niet kent
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Het tijdstip van de dag is een confounder

Waarom dit het antwoord is

Omdat lawaai en testtijdstip samen variëren, kan elk verschil door een van beide komen. Testtijden aselect toewijzen of het tijdstip constant houden zou de confounder wegnemen.

Antwoord

C · Het tijdstip van de dag is een confounder
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,49

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 245/6 = 40,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 12,17² + 10,17² + (−19,83)² + 14,17² + 8,167² + (−24,83)² = 1529

Standaardafwijking

s = √(1529/5) = 17,49

Antwoord

s = 17,49
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6554

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Antwoord

P = 0,6554
5.Kansrekening

Antwoord: N = 252

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Antwoord

N = 252
6.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 2,7 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 3 (p = 0,3), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)

Verwachtingswaarde

E(G) = 3·0,3 + 49·0,05 − 1·0,65 = 2,7 €

Antwoord

E(G) = 2,7 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7532

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2,05) − Φ(−0,75) = 0,9798 − 0,2266 = 0,7532

Antwoord

P = 0,7532
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 448,7 h

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Antwoord

x = 448,74 h
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 14,81

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Foutmarge

E = 4,032·9/√6 = 14,81

Antwoord

E = 14,81
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 8,725 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

sp² = (8·9,5² + 7·7²)/15 = 71
sp = 8,426

Foutmarge

E = 2,131·8,426·√(1/9 + 1/8) = 8,725

Antwoord

E = 8,725 kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Toetsingsgrootheid

t = (120,7 − 120)/1 = 0,7

Antwoord

t = 0,7
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 138

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,282)·4/1)² = 137,1

Naar boven afronden

n = 138

Antwoord

n = 138
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9123

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 341/6 = 56,83

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 312,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 67,5/√(17,5·312,8) = 0,9123

Antwoord

r = 0,9123
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 15,3

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 54/5 = 10,8

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Regressielijn

b = 60/40 = 1,5
a = 10,8 − 1,5·6 = 1,8
ŷ = 1,8 + 1,5·x

Voorspelling

ŷ = 1,8 + 1,5·9 = 15,3

Antwoord

ŷ = 15,3
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 3,5

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
nachtdienst: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48

Chikwadraatgrootheid

χ² = (36 − 36)²/36 + (30 − 36)²/36 + (54 − 48)²/48 + (36 − 36)²/36 + (42 − 36)²/36 + (42 − 48)²/48
χ² = 3,5

Antwoord

χ² = 3,5

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 23,21

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 11 − 1 = 10

Tabel

χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Antwoord

χ²crit = 23,209

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology