Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Bij een correlatie is r = 0,40. Welk deel van de variantie van de ene variabele wordt gedeeld met de andere?

  1. A16%
  2. B60%
  3. C4%
  4. D40%
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een eenweg-ANOVA die vier groepen vergelijkt, is significant. Wat moet de onderzoeker daarna doen om te vinden welke groepen verschillen?

  1. AConcluderen dat alle vier groepen van elkaar verschillen
  2. BEen chikwadraattoets op de gemiddelden uitvoeren
  3. CHet resultaat rapporteren als een correlatie
  4. DPost-hoctoetsen uitvoeren, zoals Tukey's HSD
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
2025303540455055

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 53, 58, 54, 25, 24.

n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 56,25?

μ = 50σ = 5x = 56,25
P =
5.KansrekeningGemiddeld
P(minstens één zes) = ??1?2?3?4P(zes) = 1/6 bij elke worp

Er wordt 4 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 4
P =
6.KansrekeningMoeilijk
€p(x)−100,84300,151900,01

Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,15 en €200 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€40: p = 0,15€200: p = 0,01
E(G) = €
7.Normale verdelingGemiddeld
248,5252,75P = ?

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 248,5 en 252,75 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x1 = 248,5x2 = 252,75
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
μ = 32x = ?90%

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 7, s = 17L = ?Ux̄ = 49,5E90%

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 49,5 en standaardafwijking s = 17. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 49,5s = 1790%t(6) = 1,943
ondergrens =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

De standaardafwijking van de populatie is 27. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 27E = 1,595%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −2,06402,064

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 39,6 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 39,6s = 20n = 25
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
z −1,9601,96

Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 499,6. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 499,6σ = 4n = 6495%
L =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy126223318417515614xy246152025

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6
r² =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy136244345449555xy244050x = 1,5

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 35) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 35)
e =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst35342392nachtdienst37401895Totaal727441187

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, groot”.

rijtotaal = 95kolomtotaal = 41N = 187
E =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 2 rijen en 3 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · 16%

Waarom dit het antwoord is

De determinatiecoëfficiënt is r², hier 0,40² = 0,16, dus 16% van de variantie wordt gedeeld.

Antwoord

A · 16%
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Post-hoctoetsen uitvoeren, zoals Tukey's HSD

Waarom dit het antwoord is

Een significante F laat zien dat niet alle gemiddelden gelijk zijn. Post-hoctoetsen of geplande contrasten bepalen welke paren verschillen, terwijl het foutrisico wordt beheerst.

Antwoord

D · Post-hoctoetsen uitvoeren, zoals Tukey's HSD
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,9

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 233/6 = 38,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−19,83)² + 14,17² + 19,17² + 15,17² + (−13,83)² + (−14,83)² = 1603

Standaardafwijking

s = √(1603/5) = 17,9

Antwoord

s = 17,9
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1056

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Antwoord

P = 0,1056
5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,5177

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Antwoord

P = 0,5177
6.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −2 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 30 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Verwachtingswaarde

E(G) = 30·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −2 €

Antwoord

E(G) = −2 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3268

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3
z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,55) − Φ(−0,3) = 0,7088 − 0,3821 = 0,3268

Antwoord

P = 0,3268
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 39,69 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Antwoord

x = 39,69 min
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 37,02

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Foutmarge

E = 1,943·17/√7 = 12,48

Interval

49,5 ± 12,48 → [37,02, 61,98]

Antwoord

ondergrens = 37,02
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1245

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·27/1,5)² = 1245

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1245

Antwoord

n = 1245
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Toetsingsgrootheid

t = (39,6 − 50)/4 = −2,6

Antwoord

t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 498,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·4/√64 = 0,98

Intervalgrens

L = 499,6 − 0,98 = 498,6

Antwoord

L = 498,6
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9313

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 110,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = −42,5²/(17,5·110,8) = 0,9313

Antwoord

r² = 0,9313

Ongeveer 93,13% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,35

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 229/5 = 45,8

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

Regressielijn

b = 43/10 = 4,3
a = 45,8 − 4,3·3 = 32,9
ŷ = 32,9 + 4,3·x

Voorspelde waarde

ŷ = 32,9 + 4,3·1,5 = 39,35

Residu

e = 35 − 39,35 = −4,35

Antwoord

e = −4,35

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 20,83

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 95·41/187 = 20,83

Antwoord

E = 20,83
16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 9,21

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Tabel

χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Antwoord

χ²crit = 9,210

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology