Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Publicatiebias verwijst naar:

AOnderzoekers die hetzelfde onderzoek twee keer publiceren
BStudies met significante resultaten die vaker worden gepubliceerd dan nulresultaten
CTijdschriften die alleen kwalitatief onderzoek publiceren
DReviewers die artikelen van auteurs van beroemde universiteiten bevoordelen boven die van minder bekende

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een psychologiefaculteit werft deelnemers alleen uit inleidende psychologievakken. Critici zeggen dat de steekproeven "WEIRD" zijn. Waar verwijst dit naar?

ASteekproeven die zich ongewoon vreemd gedragen
BSteekproeven die vroeg uit onderzoeken stappen
CWestern, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren
DSteekproeven die met gewogen aselecte methoden zijn geworven

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 52, 58, 16, 22, 36, 13.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 53.

μ = 50σ = 5x = 53

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 1. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25Y = 2X + 1

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 82 en 123,25 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 123,25

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 80% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten80%

x = punten

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 82 h, bekende standaardafwijking 13 h. Model 2: 80 telefoons, gemiddelde 92 h, bekende standaardafwijking 16 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 82 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 92 hσ₂ = 16 h95%

ondergrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 9. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 9E = 290%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

6 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −2,57 en de standaardafwijking van de verschillen is 3,5. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = −2,57s_d = 3,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 10E = 295%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 260Σx² = 220Σy² = 13914Σxy = 1682

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (22,5, 119) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(22,5, 119)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, groot”.

rijtotaal = 55kolomtotaal = 67N = 146

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 2 rijen en 4 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²_crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Studies met significante resultaten die vaker worden gepubliceerd dan nulresultaten

Waarom dit het antwoord is

Als niet-significante studies in de bureaulade blijven, overschat de gepubliceerde literatuur de effectgroottes, wat meta-analyses vertekent.

Antwoord

B · Studies met significante resultaten die vaker worden gepubliceerd dan nulresultaten

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Western, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren

Waarom dit het antwoord is

Henrich en collega's merkten op dat de meeste deelnemers aan psychologisch onderzoek uit WEIRD-samenlevingen komen, die niet representatief zijn voor de mensheid, wat de populatievaliditeit bedreigt.

Antwoord

C · Western, Educated, Industrialised, Rich and Democratic steekproeven die misschien niet generaliseren

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 19

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 197/6 = 32,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 19,17² + 25,17² + (−16,83)² + (−10,83)² + 3,167² + (−19,83)² = 1805

Standaardafwijking

s = √(1805/5) = 19

Antwoord

s = 19

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,6

Standaardiseren

z = (53 − 50)/5 = 0,6

Antwoord

z = 0,6

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 11,61

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,3 + 20·0,2 + 30·0,25 + 40·0,25 = 24,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,2 + 900·0,25 + 1600·0,25 = 735

Variantie

Var(X) = 735 − 24,5² = 134,8

σ = √134,8 = 11,61

Antwoord

σ = 11,61

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 4,643

Spreiding van X

μ = 2,9, Var(X) = 5,39, σ_X = 2,322

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·2,322 = 4,643

Antwoord

σ_Y = 4,643

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·2,9 + 1 = 6,8.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8244

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(−1,2) = 0,9394 − 0,1151 = 0,8244

Antwoord

P = 0,8244

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 56,6 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,2

z uit de tabel

z ≈ −0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 punten

Antwoord

x = 56,6 punten

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −14,52 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 82 − 92 = −10

Standaardfout

SE = √(13²/80 + 16²/80) = 2,305

Foutmarge

E = 1,96·2,305 = 4,518

Interval

−10 ± 4,518 → [−14,52, −5,482]

Antwoord

ondergrens = −14,52 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 55

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·9/2)² = 54,8

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 55

Antwoord

n = 55

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,799

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 3,5/√6 = 1,429

Toetsingsgrootheid

t = −2,57/1,429 = −1,799

Antwoord

t = −1,799

Bij df = 5 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,571; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 97

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,96·10/2)² = 96,04

Naar boven afronden

n = 97

Antwoord

n = 97

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9718

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1682 − 30·260/5 = 122

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 13914 − 260²/5 = 394

Correlatiecoëfficiënt

r = 122/√(40·394) = 0,9718

Antwoord

r = 0,9718

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,6

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 539/5 = 107,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 516

Regressielijn

b = 516/90 = 5,733

a = 107,8 − 5,733·21 = −12,6

ŷ = −12,6 + 5,733·x

Voorspelde waarde

ŷ = −12,6 + 5,733·22,5 = 116,4

Residu

e = 119 − 116,4 = 2,6

Antwoord

e = 2,6

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 25,24

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 55·67/146 = 25,24

Antwoord

E = 25,24

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²_crit = 11,35

Vrijheidsgraden

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Tabel

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Antwoord

χ²_crit = 11,345

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology