Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een nieuwe depressievragenlijst voorspelt welke studenten het komende jaar behandeling zullen zoeken. Dit ondersteunt welk type validiteit?

  1. APredictieve validiteit
  2. BIndruksvaliditeit (face validity)
  3. CInhoudsvaliditeit
  4. DConcurrente validiteit
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Twee observatoren registreren agressieve handelingen op een speelplaats en hun tellingen correleren met r = 0,45. Wat moet de onderzoeker doen?

  1. AOverstappen op een eenzijdige hypothese
  2. BAlleen de hoogste van de twee tellingen gebruiken
  3. CDe gedragscategorieën verfijnen en de observatoren trainen, en daarna de overeenstemming opnieuw controleren
  4. DDe data accepteren, omdat elke positieve correlatie genoeg is
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
2025303540455055

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 54, 56, 16, 28, 36.

n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 50.

μ = 70σ = 10x = 50
z =
5.KansrekeningGemiddeld
rood: 7blauw: 9

Een zak bevat 7 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

7 / 9
P =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 7, p = 0,2: P(X = 1) = ?k01234567

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 7p = 0,2k = 1
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
105 s95,4 sX + Y?

X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 95,4 s. Rond z af op twee decimalen.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95,4 s
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
557085100115130145puntenboven 90%

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 90% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten90%
x = punten
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 12, s = 11,5LUx̄ = 59,5E = ?90%

Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 59,5 en standaardafwijking s = 11,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 12x̄ = 59,5s = 11,590%t(11) = 1,796
E =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02599%

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,025 heeft?

p = 0,5E = 0,02599%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−1,841,84p = ?

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 36 waarnemingen heeft een gemiddelde van 46,32. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ ≠ 50. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 50σ = 12n = 36x̄ = 46,32H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
−1,961,96z = ?

In een onderzoek herstellen 32 van de 80 patiënten met behandeling A en 28 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 28n₂ = 80
z =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy125222323421518xy242025

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5
r² =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy14381639185820612257xy1520405060x = 17

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 17.

n = 5x = 17
ŷ =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
laagmiddelhoogTotaalstedelijk13234480landelijk144937100Totaal277281180

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1802 × 3
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 3 rijen en 6 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Predictieve validiteit

Waarom dit het antwoord is

Predictieve validiteit blijkt als scores een later criterium voorspellen. Concurrente validiteit gebruikt een criterium dat op hetzelfde moment wordt gemeten.

Antwoord

A · Predictieve validiteit
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · De gedragscategorieën verfijnen en de observatoren trainen, en daarna de overeenstemming opnieuw controleren

Waarom dit het antwoord is

Een lage interbeoordelaarsbetrouwbaarheid betekent dat de categorieën inconsistent worden toegepast. Duidelijkere operationele definities en oefensessies moeten de overeenstemming verhogen vóór de hoofddataverzameling.

Antwoord

C · De gedragscategorieën verfijnen en de observatoren trainen, en daarna de overeenstemming opnieuw controleren
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,09

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 190/5 = 38

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 16² + 18² + (−22)² + (−10)² + (−2)² = 1168

Standaardafwijking

s = √(1168/4) = 17,09

Antwoord

s = 17,09
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −2

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = (50 − 70)/10 = −2

Antwoord

z = −2
5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,175

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Antwoord

P = 0,175
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,367

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 1) = 7·0,21·0,86 = 7·0,2·0,2621 = 0,367

Antwoord

P = 0,367
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9332

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaardiseren

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 80,8 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 punten

Antwoord

x = 80,8 punten
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 5,962

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Foutmarge

E = 1,796·11,5/√12 = 5,962

Antwoord

E = 5,962
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Naar boven afronden

n = 2655

Antwoord

n = 2655
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,06577

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12/√36 = 2
z = (46,32 − 50)/2 = −1,84

Staartoppervlakte

Φ(1,84) = 0,9671
1 − Φ(1,84) = 0,0329

p-waarde

p = 2·0,0329 = 0,06577

Antwoord

p = 0,06577

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,6532

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 28/80 = 0,35
p̂ = 60/160 = 0,375

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,375·0,625·(1/80 + 1/80)) = 0,07655

Toetsingsgrootheid

z = (0,4 − 0,35)/0,07655 = 0,6532

Antwoord

z = 0,6532

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,8396

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21,8

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = −15²/(10·26,8) = 0,8396

Antwoord

r² = 0,8396

Ongeveer 83,96% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 47,6

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 253/5 = 50,6

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Regressielijn

b = 120/40 = 3
a = 50,6 − 3·18 = −3,4
ŷ = −3,4 + 3·x

Voorspelling

ŷ = −3,4 + 3·17 = 47,6

Antwoord

ŷ = 47,6
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 7,906

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

stedelijk: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36
landelijk: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

Chikwadraatgrootheid

χ² = (13 − 12)²/12 + (23 − 32)²/32 + (44 − 36)²/36 + (14 − 15)²/15 + (49 − 40)²/40 + (37 − 45)²/45
χ² = 7,906

Antwoord

χ² = 7,906

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 23,21

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Tabel

χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Antwoord

χ²crit = 23,209

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology