Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Proefleiderbias wordt het meest direct verminderd door:

AEen grotere steekproef te gebruiken
BAlleen vrijwilligers te gebruiken
CEen eenzijdige hypothese te gebruiken
DData te laten verzamelen door een onderzoeker die de hypothese of de condities niet kent

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een studie toont dat een vragenlijst sterk correleert met een erkende test van hetzelfde construct. Dat ondersteunt:

ATest-hertestbetrouwbaarheid
BIndruksvaliditeit (face validity)
CConcurrente validiteit
DEcologische validiteit

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 38, 51, 51, 42, 19, 38.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 64,8?

μ = 60σ = 12x = 64,8

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 3 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 3

P =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15Y = 10X − 3

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9793 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9793

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 20 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 5,7 en standaardafwijking 2,8. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 20d̄ = 5,7s_d = 2,899%t(19) = 2,861

ondergrens = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 7. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 7E = 295%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

15 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −3,73 en de standaardafwijking van de verschillen is 3,8. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = −3,73s_d = 3,8

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 399%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (2,5, 35) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 35)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1802 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 2 rijen en 11 kolommen (de totalen niet meegeteld). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

2 × 11

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Data te laten verzamelen door een onderzoeker die de hypothese of de condities niet kent

Waarom dit het antwoord is

Proefleiders die de hypothese kennen, kunnen deelnemers of registraties onbedoeld beïnvloeden. Enkel- of dubbelblinde procedures en gestandaardiseerde instructies verminderen dit.

Antwoord

D · Data te laten verzamelen door een onderzoeker die de hypothese of de condities niet kent

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Concurrente validiteit

Waarom dit het antwoord is

Concurrente validiteit blijkt wanneer een nieuwe meting overeenkomt met een erkende meting die ongeveer tegelijk is afgenomen.

Antwoord

C · Concurrente validiteit

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,98

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 273/7 = 39

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−1)² + 12² + 12² + 3² + (−20)² + (−1)² = 724

Standaardafwijking

s = √(724/6) = 10,98

Antwoord

s = 10,98

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3446

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Antwoord

P = 0,3446

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,4213

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Antwoord

P = 0,4213

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 100,5

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 23, Var(X) = 101, σ_X = 10,05

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·10,05 = 100,5

Antwoord

σ_Y = 100,5

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·23 − 3 = 227.

7.Normale verdeling

Antwoord: z = −2,04

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9793 = 0,0207

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0207 in de tabel en lees z af.

z = −2,04

Antwoord

z = −2,04

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 26,95 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Antwoord

x = 26,95 min

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 3,909 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 19, t = 2,861

Foutmarge

E = 2,861·2,8/√20 = 1,791

Interval

5,7 ± 1,791 → [3,909, 7,491]

Antwoord

ondergrens = 3,909 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 48

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·7/2)² = 47,06

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 48

Antwoord

n = 48

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,802

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 3,8/√15 = 0,9812

Toetsingsgrootheid

t = −3,73/0,9812 = −3,802

Antwoord

t = −3,802

Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 166

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·15/3)² = 165,9

Naar boven afronden

n = 166

Antwoord

n = 166

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,991

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 488/5 = 97,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2977

Correlatiecoëfficiënt

r = 513/√(90·2977) = 0,991

Antwoord

r = 0,991

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 217/5 = 43,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Regressielijn

b = 36/10 = 3,6

a = 43,4 − 3,6·4 = 29

ŷ = 29 + 3,6·x

Voorspelde waarde

ŷ = 29 + 3,6·2,5 = 38

Residu

e = 35 − 38 = −3

Antwoord

e = −3

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 0,8438

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

nieuw geneesmiddel: 80·108/180 = 48, 80·72/180 = 32

placebo: 100·108/180 = 60, 100·72/180 = 40

Chikwadraatgrootheid

χ² = (45 − 48)²/48 + (35 − 32)²/32 + (63 − 60)²/60 + (37 − 40)²/40

χ² = 0,8438

Antwoord

χ² = 0,8438

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 10

Vrijheidsgraden

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Antwoord

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology