Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een onderzoeker onderzoekt het effect van gender op geheugenscores. Waarom is dit een quasi-experiment en geen echt experiment?

ADe AV wordt niet gemeten
BHet onderzoek vindt plaats in een laboratorium
CDe OV is een al bestaand kenmerk, dus deelnemers kunnen er niet aselect aan worden toegewezen
DEr zijn maar twee condities en een echt experiment heeft minstens drie niveaus van de OV nodig

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een grotere steekproef in een onderzoek zorgt het meest direct voor:

AEen gegarandeerd significant resultaat als er enig effect bestaat
BMeer statistisch onderscheidingsvermogen (power) om een echt effect te vinden
CHet verdwijnen van alle vertekening uit de steekproef
DEen groter effect

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 33, 31, 28, 19, 57, 52, 27.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 100. Bereken de z-score z van een score van 400.

μ = 500σ = 100x = 400

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 8 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

8 / 9

P =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 6p = 0,7k = 4

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 12 ervan groter is dan 1103 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1103 kg

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 60% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 142,5 h, bekende standaardafwijking 13 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 147,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 142,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 147,5 hσ₂ = 20 h95%

ondergrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 8 proefvelden, gemiddelde opbrengst 96 kg, standaardafwijking 7 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 97 kg, standaardafwijking 6,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 96s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 97s₂ = 6,595%t(12) = 2,179

ondergrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 94,75 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 94,75s = 15n = 16

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,05 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 25. In werkelijkheid is het gemiddelde 105,25. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 100μ = 105,25σ = 25n = 100α = 0,05

β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 8.

n = 5x = 8

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2202 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 3 rijen en 5 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²_crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · De OV is een al bestaand kenmerk, dus deelnemers kunnen er niet aselect aan worden toegewezen

Waarom dit het antwoord is

In een quasi-experiment is de OV een natuurlijk voorkomend verschil tussen mensen. Zonder aselecte toewijzing kunnen andere verschillen tussen groepen de resultaten verstoren.

Antwoord

C · De OV is een al bestaand kenmerk, dus deelnemers kunnen er niet aselect aan worden toegewezen

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Meer statistisch onderscheidingsvermogen (power) om een echt effect te vinden

Waarom dit het antwoord is

Grotere steekproeven verkleinen de standaardfout en vergroten de power. Ze veranderen de echte effectgrootte niet en nemen systematische vertekening niet weg.

Antwoord

B · Meer statistisch onderscheidingsvermogen (power) om een echt effect te vinden

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,91

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 247/7 = 35,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−2,286)² + (−4,286)² + (−7,286)² + (−16,29)² + 21,71² + 16,71² + (−8,286)² = 1161

Standaardafwijking

s = √(1161/6) = 13,91

Antwoord

s = 13,91

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1

Standaardiseren

z = (400 − 500)/100 = −1

Antwoord

z = −1

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2059

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

Antwoord

P = 0,2059

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3241

Binomiale formule

P(X = 4) = 15·0,7⁴·0,3² = 15·0,2401·0,09 = 0,3241

Antwoord

P = 0,3241

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,02275

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

Standaardiseren

z = (1103 − 1020)/41,57 = 2

Kansrekening

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 490 h

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,4

z uit de tabel

z ≈ −0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Antwoord

x = 490 h

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −11,7 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 142,5 − 147,5 = −5

Standaardfout

SE = √(13²/100 + 20²/40) = 3,419

Foutmarge

E = 1,96·3,419 = 6,701

Interval

−5 ± 6,701 → [−11,7, 1,701]

Antwoord

ondergrens = −11,7 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −8,998 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (7·7² + 5·6,5²)/12 = 46,19

s_p = 6,796

Foutmarge

E = 2,179·6,796·√(1/8 + 1/6) = 7,998

Interval

−1 ± 7,998 → [−8,998, 6,998]

Antwoord

ondergrens = −8,998 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Toetsingsgrootheid

t = (94,75 − 100)/3,75 = −1,4

Antwoord

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 32,46 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 100 + 1,645·2,5 = 104,1

z onder het ware gemiddelde

z = (104,1 − 105,25)/2,5 = −0,455

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > −0,455) = 67,54%

β = 100% − 67,54% = 32,46%

Antwoord

β = 32,46%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9778

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 447/6 = 74,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1042

Determinatiecoëfficiënt

r² = 267²/(70·1042) = 0,9778

Antwoord

r² = 0,9778

Ongeveer 97,78% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 67,25

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 268/5 = 53,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182

Regressielijn

b = 182/40 = 4,55

a = 53,6 − 4,55·5 = 30,85

ŷ = 30,85 + 4,55·x

Voorspelling

ŷ = 30,85 + 4,55·8 = 67,25

Antwoord

ŷ = 67,25

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 54,56

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

nieuw geneesmiddel: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30

placebo: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36

Chikwadraatgrootheid

χ² = (95 − 70)²/70 + (5 − 30)²/30 + (59 − 84)²/84 + (61 − 36)²/36

χ² = 54,56

Antwoord

χ² = 54,56

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²_crit = 20,09

Vrijheidsgraden

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Tabel

χ²_crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Antwoord

χ²_crit = 20,090

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology