Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

De standaardfout van het gemiddelde wordt kleiner als:

ADe steekproefomvang afneemt
BDe steekproefomvang toeneemt
CHet gemiddelde toeneemt
DDe variabele op ordinaal niveau wordt gemeten

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Welke non-parametrische toets vergelijkt twee gepaarde steekproeven, zoals voor- en nametingen op een ordinale schaal?

AMann-Whitney-U-toets
Bt-toets voor onafhankelijke steekproeven
CWilcoxon-rangtekentoets
DChikwadraattoets voor onafhankelijkheid

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 55, 42, 16, 24, 51.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 174,8?

μ = 170σ = 12x = 174,8

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = −2X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15Y = −2X + 20

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 9 ervan kleiner is dan 711 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 711 kg

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 2 en standaardafwijking 1,9. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 13d̄ = 2s_d = 1,999%t(12) = 3,055

ondergrens = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 22. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 22E = 595%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 77,04 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,04s = 12n = 100

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 204. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 204σ = 10n = 4999%

L =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 12) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3, 12)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1802 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1203 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · De steekproefomvang toeneemt

Waarom dit het antwoord is

De standaardfout schat hoeveel steekproefgemiddelden rond het populatiegemiddelde variëren. Grotere steekproeven geven preciezere schattingen.

Antwoord

B · De steekproefomvang toeneemt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Wilcoxon-rangtekentoets

Waarom dit het antwoord is

De Wilcoxon-rangtekentoets is voor gepaarde ordinale data; de Mann-Whitney-U-toets is de tegenhanger voor onafhankelijke groepen.

Antwoord

C · Wilcoxon-rangtekentoets

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,63

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 209/6 = 34,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13,83)² + 20,17² + 7,167² + (−18,83)² + (−10,83)² + 16,17² = 1383

Standaardafwijking

s = √(1383/5) = 16,63

Antwoord

s = 16,63

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3446

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Antwoord

P = 0,3446

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,448

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,55

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,85

Variantie

Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448

Antwoord

Var(X) = 1,448

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 21,24

Spreiding van X

μ = 23,5, Var(X) = 112,8, σ_X = 10,62

Lineaire transformatie

σ_Y = |−2|·10,62 = 21,24

Antwoord

σ_Y = 21,24

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = −2·23,5 + 20 = −27.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,06681

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Standaardiseren

z = (711 − 765)/36 = −1,5

Kansrekening

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9633

Verdeling van het verschil

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Antwoord

P = 0,9633

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,3901 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 12, t = 3,055

Foutmarge

E = 3,055·1,9/√13 = 1,61

Interval

2 ± 1,61 → [0,3901, 3,61]

Antwoord

ondergrens = 0,3901 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 75

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·22/5)² = 74,37

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 75

Antwoord

n = 75

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Toetsingsgrootheid

t = (77,04 − 75)/1,2 = 1,7

Antwoord

t = 1,7

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 200,3

Foutmarge

E = 2,576·10/√49 = 3,68

Intervalgrens

L = 204 − 3,68 = 200,3

Antwoord

L = 200,3

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9777

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 343/5 = 68,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 501,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = 70²/(10·501,2) = 0,9777

Antwoord

r² = 0,9777

Ongeveer 97,77% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,2

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 131/5 = 26,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Regressielijn

b = 160/40 = 4

a = 26,2 − 4·6 = 2,2

ŷ = 2,2 + 4·x

Voorspelde waarde

ŷ = 2,2 + 4·3 = 14,2

Residu

e = 12 − 14,2 = −2,2

Antwoord

e = −2,2

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 0,3636

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 80·81/180 = 36, 80·99/180 = 44

niet-rokers: 100·81/180 = 45, 100·99/180 = 55

Chikwadraatgrootheid

χ² = (34 − 36)²/36 + (46 − 44)²/44 + (47 − 45)²/45 + (53 − 55)²/55

χ² = 0,3636

Antwoord

χ² = 0,3636

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 1,4

Verwachte aantallen

fabriek A: 20, 20

fabriek B: 20, 20

fabriek C: 20, 20

Chikwadraatgrootheid

χ² = (23 − 20)²/20 + (17 − 20)²/20 + (18 − 20)²/20 + (22 − 20)²/20 + (19 − 20)²/20 + (21 − 20)²/20

χ² = 1,4

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

1,4 < 5,991

Antwoord

χ² = 1,4

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology