Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een onderzoeker vergelijkt de agressie van kinderen voor en na de komst van televisie in een afgelegen stadje. De onderzoeker had geen invloed op de komst van televisie. Dit is een:

ALaboratoriumexperiment
BVeldexperiment
CCorrelationele enquête over televisiekijken
DNatuurlijk experiment

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

In kwalitatief onderzoek betekent reflexiviteit dat de onderzoeker:

AEen aselecte steekproef gebruikt om bias weg te nemen
BNadenkt over hoe de eigen achtergrond en aannames de analyse kunnen vormen
CHet onderzoek herhaalt om de betrouwbaarheid te controleren
DThema's omzet in numerieke data

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 54, 12, 53, 34, 57, 52.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 68.

μ = 60σ = 8x = 68

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,35, 0,25Y = 2X + 20

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9199 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9199

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 15% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 27 en standaardafwijking s = 10. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 21x̄ = 27s = 1099%t(20) = 2,845

E =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 3,3 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.

n = 15s = 3,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 14 studenten, gemiddelde score 83, standaardafwijking 2. Groep 2: 7 studenten, gemiddelde score 87, standaardafwijking 3,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 14x̄₁ = 83s₁ = 2n₂ = 7x̄₂ = 87s₂ = 3,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 10. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 80%δ = 5σ = 10z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 80?

n = 5ŷ = 80

x =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, groot”.

rijtotaal = 90kolomtotaal = 33N = 180

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 3 rijen en 6 kolommen (de totalen niet meegeteld). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

3 × 6

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Natuurlijk experiment

Waarom dit het antwoord is

In een natuurlijk experiment varieert de OV door gebeurtenissen buiten de controle van de onderzoeker. De ecologische validiteit is hoog, maar aselecte toewijzing is niet mogelijk.

Antwoord

D · Natuurlijk experiment

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Nadenkt over hoe de eigen achtergrond en aannames de analyse kunnen vormen

Waarom dit het antwoord is

Reflexiviteit erkent de invloed van de onderzoeker op dataverzameling en interpretatie, en is een belangrijk kwaliteitscriterium in kwalitatief werk.

Antwoord

B · Nadenkt over hoe de eigen achtergrond en aannames de analyse kunnen vormen

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,15

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 300/7 = 42,86

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−4,857)² + 11,14² + (−30,86)² + 10,14² + (−8,857)² + 14,14² + 9,143² = 1565

Standaardafwijking

s = √(1565/6) = 16,15

Antwoord

s = 16,15

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1

Standaardiseren

z = (68 − 60)/8 = 1

Antwoord

z = 1

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 9,631

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,1 = 21,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,1 = 555

Variantie

Var(X) = 555 − 21,5² = 92,75

σ = √92,75 = 9,631

Antwoord

σ = 9,631

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 2,227

Spreiding van X

μ = 1,6, Var(X) = 1,24, σ_X = 1,114

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·1,114 = 2,227

Antwoord

σ_Y = 2,227

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·1,6 + 20 = 23,2.

7.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,75

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,9199)/2 = 0,9599

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9599 in de tabel en lees z af.

z = 1,75

Antwoord

z = 1,75

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 185,3 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Antwoord

x = 185,3 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 6,208

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Foutmarge

E = 2,845·10/√21 = 6,208

Antwoord

E = 6,208

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 2,416 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 14·3,3² = 152,5

Grenzen voor σ²

152,5/26,119 = 5,837

152,5/5,629 = 27,08

Grens voor σ

σ = √5,837 = 2,416 µm

Antwoord

σ = 2,416 µm

95%-interval voor σ: [2,416, 5,204] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,362

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (13·2² + 6·3,5²)/19 = 6,605

s_p = 2,57

Standaardfout

SE = 2,57·√(1/14 + 1/7) = 1,19

Toetsingsgrootheid

t = (83 − 87)/1,19 = −3,362

Antwoord

t = −3,362

Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 41

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 0,842)·10/5)² = 40,14

Naar boven afronden

n = 41

Antwoord

n = 41

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9793

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 135/5 = 27

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 670

Determinatiecoëfficiënt

r² = 162²/(40·670) = 0,9793

Antwoord

r² = 0,9793

Ongeveer 97,93% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 7,87

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 385/5 = 77

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

Regressielijn

b = 138/40 = 3,45

a = 77 − 3,45·7 = 52,85

ŷ = 52,85 + 3,45·x

Los op naar x

x = (80 − 52,85)/3,45 = 7,87

Antwoord

x = 7,87

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 16,5

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 90·33/180 = 16,5

Antwoord

E = 16,5

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 10

Vrijheidsgraden

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Antwoord

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology