Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welk soort data levert een open vraag in een interview op?

ARatiodata
BAlleen nominale kwantitatieve data
CKwalitatieve data
DIntervaldata

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Welke non-parametrische toets vergelijkt twee gepaarde steekproeven, zoals voor- en nametingen op een ordinale schaal?

AWilcoxon-rangtekentoets
BMann-Whitney-U-toets
CChikwadraattoets voor onafhankelijkheid
Dt-toets voor onafhankelijke steekproeven

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 58, 54, 46, 43, 33, 44, 53.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 64,8.

μ = 60σ = 12x = 64,8

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 1. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25Y = 3X + 1

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 60 en 77,5 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 77,5

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 15% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 119 h, bekende standaardafwijking 12 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 127 h, bekende standaardafwijking 19 h. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 119 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 127 hσ₂ = 19 h90%

bovengrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,04 heeft?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 54,2 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,2s = 10n = 25

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 10E = 395%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4,5, 16) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 16)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2002 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 7 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 7

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Kwalitatieve data

Waarom dit het antwoord is

Open vragen leveren rijke kwalitatieve data op die moeilijker statistisch te analyseren zijn dan antwoorden op gesloten vragen.

Antwoord

C · Kwalitatieve data

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Wilcoxon-rangtekentoets

Waarom dit het antwoord is

De Wilcoxon-rangtekentoets is voor gepaarde ordinale data; de Mann-Whitney-U-toets is de tegenhanger voor onafhankelijke groepen.

Antwoord

A · Wilcoxon-rangtekentoets

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 8,44

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 331/7 = 47,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 10,71² + 6,714² + (−1,286)² + (−4,286)² + (−14,29)² + (−3,286)² + 5,714² = 427,4

Standaardafwijking

s = √(427,4/6) = 8,44

Antwoord

s = 8,44

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (64,8 − 60)/12 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 2,124

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,15 = 2,3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,15 = 9,8

Variantie

Var(X) = 9,8 − 2,3² = 4,51

σ = √4,51 = 2,124

Antwoord

σ = 2,124

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 3,482

Spreiding van X

μ = 1,55, Var(X) = 1,348, σ_X = 1,161

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·1,161 = 3,482

Antwoord

σ_Y = 3,482

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1,55 + 1 = 5,65.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,5858

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858

Antwoord

P = 0,5858

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 185,3 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Antwoord

x = 185,3 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −2,898 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 119 − 127 = −8

Standaardfout

SE = √(12²/60 + 19²/50) = 3,102

Foutmarge

E = 1,645·3,102 = 5,102

Interval

−8 ± 5,102 → [−13,1, −2,898]

Antwoord

bovengrens = −2,898 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Naar boven afronden

n = 423

Antwoord

n = 423

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Toetsingsgrootheid

t = (54,2 − 50)/2 = 2,1

Antwoord

t = 2,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 43

n oplossen

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Naar boven afronden

n = 43

Antwoord

n = 43

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,934

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 345/5 = 69

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 322

Correlatiecoëfficiënt

r = 53/√(10·322) = 0,934

Antwoord

r = 0,934

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,35

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regressielijn

b = −31/10 = −3,1

a = 23 − (−3,1)·3 = 32,3

ŷ = 32,3 − 3,1·x

Voorspelde waarde

ŷ = 32,3 + (−3,1)·4,5 = 18,35

Residu

e = 16 − 18,35 = −2,35

Antwoord

e = −2,35

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 10,5

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

mannen: 80·80/200 = 32, 80·120/200 = 48

vrouwen: 120·80/200 = 48, 120·120/200 = 72

Chikwadraatgrootheid

χ² = (21 − 32)²/32 + (59 − 48)²/48 + (59 − 48)²/48 + (61 − 72)²/72

χ² = 10,5

Antwoord

χ² = 10,5

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 6

Vrijheidsgraden

df = 7 − 1 = 6

Antwoord

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology