Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Deskundigen controleren of de items van een wiskundetentamen alle onderwerpen van de leerstof dekken. Dit beoordeelt:

AEcologische validiteit
BInhoudsvaliditeit
CTest-hertestbetrouwbaarheid
DPredictieve validiteit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker verzamelt data op negen momenten en toetst elke keer op het 5%-niveau zonder correctie. Wat is het probleem?

ADe kans op minstens één vals positief stijgt ver boven 5%
BDe data worden elke keer betrouwbaarder, dus de laatste toets is de nauwkeurigste
CDe effectgrootte daalt bij elke toets
DEr is geen probleem met deze aanpak

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 25, 42, 28, 21, 60, 39, 33.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 65?

μ = 60σ = 5x = 65

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 8p = 0,1k = 4

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 178 en 188,5 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 188,5

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 15 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 6,6 en standaardafwijking 5,9. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 15d̄ = 6,6s_d = 5,990%t(14) = 1,761

E = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 4. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 4E = 0,595%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 96,5, standaardafwijking 11. Groep 2: 6 studenten, gemiddelde score 84,1, standaardafwijking 9,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 8x̄₁ = 96,5s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 84,1s₂ = 9,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 11. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 2σ = 11z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 110Σy = 513Σx² = 2460Σy² = 53195Σxy = 11430

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1402 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1603 × 2α = 0,01

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Inhoudsvaliditeit

Waarom dit het antwoord is

Inhoudsvaliditeit is de mate waarin een meting alle relevante aspecten van het construct dekt, meestal beoordeeld door deskundigen.

Antwoord

B · Inhoudsvaliditeit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · De kans op minstens één vals positief stijgt ver boven 5%

Waarom dit het antwoord is

Bij negen onafhankelijke toetsen is de kans op minstens één type I-fout ongeveer 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Correcties zoals Bonferroni pakken dit aan.

Antwoord

A · De kans op minstens één vals positief stijgt ver boven 5%

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,15

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 248/7 = 35,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−10,43)² + 6,571² + (−7,429)² + (−14,43)² + 24,57² + 3,571² + (−2,429)² = 1038

Standaardafwijking

s = √(1038/6) = 13,15

Antwoord

s = 13,15

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8413

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 141

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,15 + 40·0,25 = 23

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 670

Variantie

Var(X) = 670 − 23² = 141

Antwoord

Var(X) = 141

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,004593

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 70·0,1⁴·0,9⁴ = 70·0,0001·0,6561 = 0,004593

Antwoord

P = 0,004593

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4332

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,5) − Φ(0) = 0,9332 − 0,5 = 0,4332

Antwoord

P = 0,4332

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 187 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Antwoord

x = 186,97 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 2,683 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 14, t = 1,761

Foutmarge

E = 1,761·5,9/√15 = 2,683

Antwoord

E = 2,683 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 246

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·4/0,5)² = 245,9

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 246

Antwoord

n = 246

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,207

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (7·11² + 5·9,5²)/12 = 108,2

s_p = 10,4

Standaardfout

SE = 10,4·√(1/8 + 1/6) = 5,617

Toetsingsgrootheid

t = (96,5 − 84,1)/5,617 = 2,207

Antwoord

t = 2,207

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 188

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·11/2)² = 187,1

Naar boven afronden

n = 188

Antwoord

n = 188

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9611

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 11430 − 110·513/5 = 144

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 53195 − 513²/5 = 561,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 144/√(40·561,2) = 0,9611

Antwoord

r = 0,9611

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 19,55

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 88/5 = 17,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

Regressielijn

b = −13/10 = −1,3

a = 17,6 − (−1,3)·3 = 21,5

ŷ = 21,5 − 1,3·x

Voorspelling

ŷ = 21,5 + (−1,3)·1,5 = 19,55

Antwoord

ŷ = 19,55

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 9,061

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

studenten: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

personeel: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45

Chikwadraatgrootheid

χ² = (8 − 6)²/6 + (22 − 16)²/16 + (10 − 18)²/18 + (13 − 15)²/15 + (34 − 40)²/40 + (53 − 45)²/45

χ² = 9,061

Antwoord

χ² = 9,061

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 3,472

Verwachte aantallen

lijn 1: 24, 36

lijn 2: 16, 24

lijn 3: 24, 36

Chikwadraatgrootheid

χ² = (19 − 24)²/24 + (41 − 36)²/36 + (16 − 16)²/16 + (24 − 24)²/24 + (29 − 24)²/24 + (31 − 36)²/36

χ² = 3,472

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 9,210

3,472 < 9,210

Antwoord

χ² = 3,472

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology