Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Bij observatieonderzoek betekent event sampling:

AElke keer vastleggen dat een omschreven gedrag optreedt
BGedrag alleen op vaste tijdsintervallen vastleggen
CDeelnemers aselect kiezen
DAlleen gebeurtenissen vastleggen die de deelnemers rapporteren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Bij een meervoudige regressie die tentamenscores voorspelt uit studie-uren en slaap is R² = 0,36. Wat betekent dit?

A36% van de studenten haalde het tentamen
BStudie-uren veroorzaken 36% van het tentamensucces
CDe voorspellers verklaren samen 36% van de variantie in tentamenscores
DDe correlatie tussen de voorspellers is 0,36

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 10, 37, 42, 17, 31.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 122,5.

μ = 100σ = 15x = 122,5

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X + 1. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2Y = 5X + 1

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 436 en 572 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 436x₂ = 572

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 15% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 62 en standaardafwijking s = 20. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 21x̄ = 62s = 2099%t(20) = 2,845

ondergrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 17 proefvelden, gemiddelde opbrengst 52 kg, standaardafwijking 1 kg. Groep 2: 9 proefvelden, gemiddelde 59,5 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 17x̄₁ = 52s₁ = 1n₂ = 9x̄₂ = 59,5s₂ = 3,599%t(24) = 2,797

ondergrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 104,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 3 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 107,2 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 60x̄₁ = 104,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 30x̄₂ = 107,2 mmσ₂ = 11 mm

z =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ > 200 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 10. In werkelijkheid is het gemiddelde 203,3. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 200μ = 203,3σ = 10n = 100α = 0,01

β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 25Σy = 333Σx² = 165Σy² = 23045Σxy = 1849

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 17.

n = 6x = 17

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1602 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 7 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 7

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Elke keer vastleggen dat een omschreven gedrag optreedt

Waarom dit het antwoord is

Event sampling telt elk optreden van het doelgedrag. Time sampling legt vast wat er op vaste intervallen gebeurt, bijvoorbeeld elke 30 seconden.

Antwoord

A · Elke keer vastleggen dat een omschreven gedrag optreedt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · De voorspellers verklaren samen 36% van de variantie in tentamenscores

Waarom dit het antwoord is

R² laat zien hoeveel van de variabiliteit in de uitkomst door alle voorspellers samen wordt verklaard. Het toont geen causaliteit aan.

Antwoord

C · De voorspellers verklaren samen 36% van de variantie in tentamenscores

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,5

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 137/5 = 27,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−17,4)² + 9,6² + 14,6² + (−10,4)² + 3,6² = 729,2

Standaardafwijking

s = √(729,2/4) = 13,5

Antwoord

s = 13,5

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 2,49

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,2

Variantie

Var(X) = 15,2 − 3² = 6,2

σ = √6,2 = 2,49

Antwoord

σ = 2,49

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 9,734

Spreiding van X

μ = 3,1, Var(X) = 3,79, σ_X = 1,947

Lineaire transformatie

σ_Y = |5|·1,947 = 9,734

Antwoord

σ_Y = 9,734

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 5·3,1 + 1 = 16,5.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9093

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,8) − Φ(−1,6) = 0,9641 − 0,0548 = 0,9093

Antwoord

P = 0,9093

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 244,8 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,15

z uit de tabel

z ≈ −1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g

Antwoord

x = 244,8 g

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 49,58

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Foutmarge

E = 2,845·20/√21 = 12,42

Interval

62 ± 12,42 → [49,58, 74,42]

Antwoord

ondergrens = 49,58

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −10,01 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (16·1² + 8·3,5²)/24 = 4,75

s_p = 2,179

Foutmarge

E = 2,797·2,179·√(1/17 + 1/9) = 2,513

Interval

−7,5 ± 2,513 → [−10,01, −4,987]

Antwoord

ondergrens = −10,01 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,32

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(3²/60 + 11²/30) = √4,183 = 2,045

Toetsingsgrootheid

z = (104,5 − 107,2)/2,045 = −1,32

Antwoord

z = −1,32

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 16,5 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 200 + 2,326·1 = 202,3

z onder het ware gemiddelde

z = (202,3 − 203,3)/1 = −0,974

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > −0,974) = 83,5%

β = 100% − 83,5% = 16,5%

Antwoord

β = 16,5%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9879

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1849 − 25·333/5 = 184

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 23045 − 333²/5 = 867,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 184/√(40·867,2) = 0,9879

Antwoord

r = 0,9879

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 75,77

Gemiddelden

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 600/6 = 100

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 424

Regressielijn

b = 424/70 = 6,057

a = 100 − 6,057·21 = −27,2

ŷ = −27,2 + 6,057·x

Voorspelling

ŷ = −27,2 + 6,057·17 = 75,77

Antwoord

ŷ = 75,77

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 0,5689

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 100·32/160 = 20, 100·48/160 = 30, 100·80/160 = 50

nachtdienst: 60·32/160 = 12, 60·48/160 = 18, 60·80/160 = 30

Chikwadraatgrootheid

χ² = (20 − 20)²/20 + (28 − 30)²/30 + (52 − 50)²/50 + (12 − 12)²/12 + (20 − 18)²/18 + (28 − 30)²/30

χ² = 0,5689

Antwoord

χ² = 0,5689

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 5

Vrijheidsgraden

df = 7 − 1 − 1 = 5

Antwoord

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology