Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een nieuwe depressievragenlijst voorspelt welke studenten het komende jaar behandeling zullen zoeken. Dit ondersteunt welk type validiteit?

AIndruksvaliditeit (face validity)
BConcurrente validiteit
CPredictieve validiteit
DInhoudsvaliditeit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een studie toont dat een vragenlijst sterk correleert met een erkende test van hetzelfde construct. Dat ondersteunt:

ATest-hertestbetrouwbaarheid
BEcologische validiteit
CIndruksvaliditeit (face validity)
DConcurrente validiteit

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 40, 31, 44, 29, 31, 44.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 75?

μ = 50σ = 20x = 75

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,5

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 420 en 548 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 548

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = punten

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 64 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 9,7. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?

99%n₁ = 64E₁ = 9,795%

E₂ =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,8 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,025 heeft?

p ≈ 0,8E = 0,02590%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 7,5. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 503,24. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ > 500. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 500σ = 7,5n = 25x̄ = 503,24H₁: μ > μ₀

p =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 117,1. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 117,1σ = 5n = 1695%

L =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 135Σy = 607Σx² = 3195Σy² = 66223Σxy = 14520

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2202 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 4 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 4

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Predictieve validiteit

Waarom dit het antwoord is

Predictieve validiteit blijkt als scores een later criterium voorspellen. Concurrente validiteit gebruikt een criterium dat op hetzelfde moment wordt gemeten.

Antwoord

C · Predictieve validiteit

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Concurrente validiteit

Waarom dit het antwoord is

Concurrente validiteit blijkt wanneer een nieuwe meting overeenkomt met een erkende meting die ongeveer tegelijk is afgenomen.

Antwoord

D · Concurrente validiteit

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 6,803

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 249/7 = 35,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−5,571)² + 4,429² + (−4,571)² + 8,429² + (−6,571)² + (−4,571)² + 8,429² = 277,7

Standaardafwijking

s = √(277,7/6) = 6,803

Antwoord

s = 6,803

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8944

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Antwoord

P = 0,8944

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 5,36

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,2 + 6·0,25 = 2,8

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,2 + 36·0,25 = 13,2

Variantie

Var(X) = 13,2 − 2,8² = 5,36

Antwoord

Var(X) = 5,36

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1094

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Tel ze op

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Antwoord

P = 0,1094

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8622

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,2) − Φ(−2) = 0,8849 − 0,02275 = 0,8622

Antwoord

P = 0,8622

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 112,6 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 punten

Antwoord

x = 112,62 punten

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 7,38

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/64) = 0,7609

Nieuwe marge

E₂ = 9,7·0,7609 = 7,38

Antwoord

E₂ = 7,38

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 693

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,8·0,2/0,025² = 692,7

Naar boven afronden

n = 693

Antwoord

n = 693

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,01539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5

z = (503,24 − 500)/1,5 = 2,16

Staartoppervlakte

Φ(2,16) = 0,9846

1 − Φ(2,16) = 0,0154

p-waarde

p = 0,01539

Antwoord

p = 0,01539

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 114,6

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Intervalgrens

L = 117,1 − 2,45 = 114,6

Antwoord

L = 114,6

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9904

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 14520 − 135·607/6 = 862,5

S_xx = 3195 − 135²/6 = 157,5

S_yy = 66223 − 607²/6 = 4815

Correlatiecoëfficiënt

r = 862,5/√(157,5·4815) = 0,9904

Antwoord

r = 0,9904

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 52,95

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 258/5 = 51,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27

Regressielijn

b = 27/10 = 2,7

a = 51,6 − 2,7·5 = 38,1

ŷ = 38,1 + 2,7·x

Voorspelling

ŷ = 38,1 + 2,7·5,5 = 52,95

Antwoord

ŷ = 52,95

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 1,173

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

nieuw geneesmiddel: 120·110/220 = 60, 120·110/220 = 60

placebo: 100·110/220 = 50, 100·110/220 = 50

Chikwadraatgrootheid

χ² = (64 − 60)²/60 + (56 − 60)²/60 + (46 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50

χ² = 1,173

Antwoord

χ² = 1,173

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 2

Vrijheidsgraden

df = 4 − 1 − 1 = 2

Antwoord

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology