Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welke toets vergelijkt twee onafhankelijke groepen als de data ordinaal of duidelijk niet normaal verdeeld zijn?

AT-toets voor onafhankelijke steekproeven
BMann-Whitney U-toets
CWilcoxon-rangtekentoets
DChikwadraattoets

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Bij grounded theory gaat de dataverzameling door tot:

ATheoretische verzadiging is bereikt en nieuwe data geen nieuwe categorieën meer opleveren
BEen p-waarde onder 0,05 is verkregen
CTen minste 1,000 deelnemers zijn geïnterviewd
DDe oorspronkelijke hypothese is bevestigd

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 47, 33, 19, 31, 41, 39.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 104,8.

μ = 100σ = 12x = 104,8

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Er worden 11 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 11p = 0,7

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 436 en 542 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 436x₂ = 542

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 95% ervan ligt (het 95e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 40 telefoons, gemiddelde 69,5 h, bekende standaardafwijking 15 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 81 h, bekende standaardafwijking 17 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 69,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 30x̄₂ = 81 hσ₂ = 17 h95%

E = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 38. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 38E = 0,590%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 503,4 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,4s = 20n = 49

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 295%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 105Σy = 543Σx² = 2295Σy² = 61661Σxy = 11886

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2402 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 3 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 3

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Mann-Whitney U-toets

Waarom dit het antwoord is

De Mann-Whitney U-toets vergelijkt rangen tussen twee ongerelateerde groepen. De Wilcoxon-rangtekentoets is voor gerelateerde steekproeven.

Antwoord

B · Mann-Whitney U-toets

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Theoretische verzadiging is bereikt en nieuwe data geen nieuwe categorieën meer opleveren

Waarom dit het antwoord is

Grounded theory ontwikkelt theorie inductief door data tegelijk te verzamelen en te coderen, en stopt met steekproeftrekking als nieuwe data de categorieën niet meer verder ontwikkelen.

Antwoord

A · Theoretische verzadiging is bereikt en nieuwe data geen nieuwe categorieën meer opleveren

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,33

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 231/7 = 33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 14² + 0² + (−14)² + (−2)² + 8² + 6² = 640

Standaardafwijking

s = √(640/6) = 10,33

Antwoord

s = 10,33

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (104,8 − 100)/12 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 152,8

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,3 + 20·0,1 + 30·0,25 + 40·0,35 = 26,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,1 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 855

Variantie

Var(X) = 855 − 26,5² = 152,8

Antwoord

Var(X) = 152,8

6.Kansrekening

Antwoord: P = 4,724 × 10⁻⁵

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,3¹¹ = 1,771 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 11·0,7·0,3¹⁰ = 4,547 × 10⁻⁵

Tel ze op

P = 1,771 × 10⁻⁶ + 4,547 × 10⁻⁵ = 4,724 × 10⁻⁵

Antwoord

P = 4,724 × 10⁻⁵

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7983

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6

z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,05) − Φ(−1,6) = 0,8531 − 0,0548 = 0,7983

Antwoord

P = 0,7983

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 565,8 h

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Terug naar x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Antwoord

x = 565,8 h

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 7,656 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 69,5 − 81 = −11,5

Standaardfout

SE = √(15²/40 + 17²/30) = 3,906

Foutmarge

E = 1,96·3,906 = 7,656

Antwoord

E = 7,656 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 15631

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·38/0,5)² = 15630

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 15631

Antwoord

n = 15631

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,19

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Toetsingsgrootheid

t = (503,4 − 500)/2,857 = 1,19

Antwoord

t = 1,19

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 217

n oplossen

n = (1,96·15/2)² = 216,1

Naar boven afronden

n = 217

Antwoord

n = 217

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9814

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 11886 − 105·543/5 = 483

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 61661 − 543²/5 = 2691

Correlatiecoëfficiënt

r = 483/√(90·2691) = 0,9814

Antwoord

r = 0,9814

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 48,95

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 259/5 = 51,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

Regressielijn

b = 57/10 = 5,7

a = 51,8 − 5,7·3 = 34,7

ŷ = 34,7 + 5,7·x

Voorspelling

ŷ = 34,7 + 5,7·2,5 = 48,95

Antwoord

ŷ = 48,95

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 42,2

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 120·156/240 = 78, 120·84/240 = 42

niet-rokers: 120·156/240 = 78, 120·84/240 = 42

Chikwadraatgrootheid

χ² = (54 − 78)²/78 + (66 − 42)²/42 + (102 − 78)²/78 + (18 − 42)²/42

χ² = 42,2

Antwoord

χ² = 42,2

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 2

Vrijheidsgraden

df = 3 − 1 = 2

Antwoord

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology