Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Operationaliseren betekent:

AVariabelen precies en meetbaar definiëren
BDeelnemers instructies geven
CEen statistische toets kiezen
DHet onderzoek uitvoeren in een echte praktijksituatie, zoals een ziekenhuis

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een grotere steekproef in een onderzoek zorgt het meest direct voor:

AEen groter effect
BMeer statistisch onderscheidingsvermogen (power) om een echt effect te vinden
CEen gegarandeerd significant resultaat als er enig effect bestaat
DHet verdwijnen van alle vertekening uit de steekproef

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 46, 28, 53, 23, 44.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 54.

μ = 60σ = 12x = 54

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 10p = 0,1k = 3

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 500 en 582 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 582

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = punten

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 97,5 en standaardafwijking s = 12. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 97,5s = 1295%t(8) = 2,306

bovengrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 69 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 58 kg, standaardafwijking 8 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 69s₁ = 4,5n₂ = 5x̄₂ = 58s₂ = 890%t(14) = 1,761

bovengrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 103,4 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,4s = 8n = 25

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 1,599%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 36Σy = 331Σx² = 286Σy² = 19657Σxy = 2295

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 27) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 27)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “personeel, auto”.

rijtotaal = 85kolomtotaal = 63N = 163

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Variabelen precies en meetbaar definiëren

Waarom dit het antwoord is

Operationaliseren maakt van abstracte begrippen concrete metingen, zodat onderzoek herhaald kan worden.

Antwoord

A · Variabelen precies en meetbaar definiëren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Meer statistisch onderscheidingsvermogen (power) om een echt effect te vinden

Waarom dit het antwoord is

Grotere steekproeven verkleinen de standaardfout en vergroten de power. Ze veranderen de echte effectgrootte niet en nemen systematische vertekening niet weg.

Antwoord

B · Meer statistisch onderscheidingsvermogen (power) om een echt effect te vinden

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,06

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 223/6 = 37,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−8,167)² + 8,833² + (−9,167)² + 15,83² + (−14,17)² + 6,833² = 726,8

Standaardafwijking

s = √(726,8/5) = 12,06

Antwoord

s = 12,06

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,5

Standaardiseren

z = (54 − 60)/12 = −0,5

Antwoord

z = −0,5

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,31

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,25 = 1,3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,25 = 3

Variantie

Var(X) = 3 − 1,3² = 1,31

Antwoord

Var(X) = 1,31

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,0574

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 3) = 120·0,1³·0,9⁷ = 120·0,001·0,4783 = 0,0574

Antwoord

P = 0,0574

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4798

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798

Antwoord

P = 0,4798

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 119,2 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 punten

Antwoord

x = 119,22 punten

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 106,7

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Foutmarge

E = 2,306·12/√9 = 9,224

Interval

97,5 ± 9,224 → [88,28, 106,7]

Antwoord

bovengrens = 106,7

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 16,44 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (10·4,5² + 4·8²)/14 = 32,75

s_p = 5,723

Foutmarge

E = 1,761·5,723·√(1/11 + 1/5) = 5,436

Interval

11 ± 5,436 → [5,564, 16,44]

Antwoord

bovengrens = 16,44 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,125

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Toetsingsgrootheid

t = (103,4 − 100)/1,6 = 2,125

Antwoord

t = 2,125

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 664

n oplossen

n = (2,576·15/1,5)² = 663,6

Naar boven afronden

n = 664

Antwoord

n = 664

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9882

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 2295 − 36·331/6 = 309

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 19657 − 331²/6 = 1397

Correlatiecoëfficiënt

r = 309/√(70·1397) = 0,9882

Antwoord

r = 0,9882

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,05

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Regressielijn

b = −17/10 = −1,7

a = 22,4 − (−1,7)·3 = 27,5

ŷ = 27,5 − 1,7·x

Voorspelde waarde

ŷ = 27,5 + (−1,7)·1,5 = 24,95

Residu

e = 27 − 24,95 = 2,05

Antwoord

e = 2,05

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 32,85

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 85·63/163 = 32,85

Antwoord

E = 32,85

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 15,37

Verwachte aantallen

lijn 1: 42, 18

lijn 2: 28, 12

lijn 3: 70, 30

Chikwadraatgrootheid

χ² = (31 − 42)²/42 + (29 − 18)²/18 + (28 − 28)²/28 + (12 − 12)²/12 + (81 − 70)²/70 + (19 − 30)²/30

χ² = 15,37

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

15,37 > 5,991

Antwoord

χ² = 15,37

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology