Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Dezelfde 25 deelnemers maken een geheugentest voor en na cafeïne. De scores zijn van intervalniveau en ongeveer normaal verdeeld. Welke toets is geschikt?

AChikwadraattoets
BMann-Whitney U-toets
CT-toets voor onafhankelijke steekproeven
DT-toets voor gepaarde (gerelateerde) steekproeven

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoek vindt een correlatie van r = 0,05 tussen lengte en IQ bij alleen professionele basketballers, terwijl die in de algemene bevolking hoger is. Wat verklaart de zwakke correlatie het best?

AEen plafondeffect in IQ-tests
BRegressie naar het gemiddelde
CBeperking van de spreiding (restriction of range)
DVraagkenmerken

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 18, 38, 25, 12, 53.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 90?

μ = 50σ = 20x = 90

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,1

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 70,75 en 123,25 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 123,25

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 5% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 14,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 15x̄ = 14,5s = 1199%t(14) = 2,977

E =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 8,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.

n = 30s = 8,8 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 3,74 en de standaardafwijking van de verschillen is 8,3. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 3,74s_d = 8,3

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 499. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 499σ = 8n = 1690%

L =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 27Σy = 399Σx² = 139Σy² = 27391Σxy = 1913

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 60) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 60)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “studenten, fiets”.

rijtotaal = 65kolomtotaal = 48N = 129

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 9 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 9

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · T-toets voor gepaarde (gerelateerde) steekproeven

Waarom dit het antwoord is

Een gepaarde t-toets vergelijkt gemiddelden van dezelfde deelnemers in twee condities, met gebruik van de verschillen binnen elke persoon.

Antwoord

D · T-toets voor gepaarde (gerelateerde) steekproeven

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Beperking van de spreiding (restriction of range)

Waarom dit het antwoord is

Als een steekproef maar een smal bereik van een variabele beslaat, worden correlaties met die variabele kleiner. Basketballers zijn allemaal lang, dus lengte varieert weinig.

Antwoord

C · Beperking van de spreiding (restriction of range)

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,45

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 146/5 = 29,2

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−11,2)² + 8,8² + (−4,2)² + (−17,2)² + 23,8² = 1083

Standaardafwijking

s = √(1083/4) = 16,45

Antwoord

s = 16,45

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,8367

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variantie

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Antwoord

σ = 0,8367

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,659

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,9¹² = 0,2824

P(X = 1) = 12·0,1·0,9¹¹ = 0,3766

Tel ze op

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Antwoord

P = 0,659

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9138

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(−1,95) = 0,9394 − 0,02559 = 0,9138

Antwoord

P = 0,9138

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 166,5 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,05

z uit de tabel

z ≈ −1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm

Antwoord

x = 166,5 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 8,455

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Foutmarge

E = 2,977·11/√15 = 8,455

Antwoord

E = 8,455

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 11,83 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 29·8,8² = 2246

Grenzen voor σ²

2246/45,722 = 49,12

2246/16,047 = 139,9

Grens voor σ

σ = √139,9 = 11,83 µm

Antwoord

σ = 11,83 µm

95%-interval voor σ: [7,008, 11,83] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,802

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 8,3/√16 = 2,075

Toetsingsgrootheid

t = 3,74/2,075 = 1,802

Antwoord

t = 1,802

Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 495,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,645·8/√16 = 3,29

Intervalgrens

L = 499 − 3,29 = 495,7

Antwoord

L = 495,7

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9592

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1913 − 27·399/6 = 117,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 27391 − 399²/6 = 857,5

Correlatiecoëfficiënt

r = 117,5/√(17,5·857,5) = 0,9592

Antwoord

r = 0,9592

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,4

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 345/5 = 69

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Regressielijn

b = 76/10 = 7,6

a = 69 − 7,6·5 = 31

ŷ = 31 + 7,6·x

Voorspelde waarde

ŷ = 31 + 7,6·3,5 = 57,6

Residu

e = 60 − 57,6 = 2,4

Antwoord

e = 2,4

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 24,19

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 65·48/129 = 24,19

Antwoord

E = 24,19

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 8

Vrijheidsgraden

df = 9 − 1 = 8

Antwoord

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology