Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een Cronbachs alfa van 0,88 voor een angstschaal met 15 items wijst op:

ADat de scores over zes maanden stabiel zijn
BEen goede interne consistentie van de items
CDat de schaal een significant effect op angst heeft
DDat de schaal toekomstige angst goed voorspelt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een test voor "intelligentie" meet vooral hoe snel mensen kunnen typen. Welk type validiteit ontbreekt het duidelijkst?

AInterbeoordelaarsbetrouwbaarheid
BConstructvaliditeit
CInterne consistentie
DTest-hertestbetrouwbaarheid

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 26, 31, 16, 52, 25, 10.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 55.

μ = 60σ = 5x = 55

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,25, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25Y = 10X − 3

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 246 en 260,25 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 260,25

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −8,4 en standaardafwijking 0,8. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 6d̄ = −8,4s_d = 0,890%t(5) = 2,015

bovengrens = mmHg

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 15. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 15E = 0,599%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 501,2 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,2s = 15n = 81

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 122,9. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 122,9σ = 10n = 6495%

L =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (2, 40) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(2, 40)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2202 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 7 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 7

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Een goede interne consistentie van de items

Waarom dit het antwoord is

Cronbachs alfa schat de interne consistentie; waarden rond 0,7 of hoger worden meestal als acceptabel gezien. Op zichzelf toont ze geen validiteit aan.

Antwoord

B · Een goede interne consistentie van de items

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Constructvaliditeit

Waarom dit het antwoord is

Constructvaliditeit is de vraag of een meting werkelijk het onderliggende construct weerspiegelt. Een test kan betrouwbaar zijn en toch het verkeerde meten.

Antwoord

B · Constructvaliditeit

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,53

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 160/6 = 26,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + 4,333² + (−10,67)² + 25,33² + (−1,667)² + (−16,67)² = 1055

Standaardafwijking

s = √(1055/5) = 14,53

Antwoord

s = 14,53

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1

Standaardiseren

z = (55 − 60)/5 = −1

Antwoord

z = −1

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 3,71

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,1 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,7

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,4

Variantie

Var(X) = 17,4 − 3,7² = 3,71

Antwoord

Var(X) = 3,71

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 11,17

Spreiding van X

μ = 1,55, Var(X) = 1,247, σ_X = 1,117

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,117 = 11,17

Antwoord

σ_Y = 11,17

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·1,55 − 3 = 12,5.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,768

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2,05) − Φ(−0,8) = 0,9798 − 0,2119 = 0,768

Antwoord

P = 0,768

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 187 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Antwoord

x = 187 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −7,742 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 5, t = 2,015

Foutmarge

E = 2,015·0,8/√6 = 0,6581

Interval

−8,4 ± 0,6581 → [−9,058, −7,742]

Antwoord

bovengrens = −7,742 mmHg

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 5973

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·15/0,5)² = 5972

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 5973

Antwoord

n = 5973

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 0,72

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Toetsingsgrootheid

t = (501,2 − 500)/1,667 = 0,72

Antwoord

t = 0,72

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 120,5

Foutmarge

E = 1,96·10/√64 = 2,45

Intervalgrens

L = 122,9 − 2,45 = 120,5

Antwoord

L = 120,5

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,968

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 73/5 = 14,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 209,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = 90²/(40·209,2) = 0,968

Antwoord

r² = 0,968

Ongeveer 96,8% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4,01

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 290/6 = 48,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

Regressielijn

b = 216/70 = 3,086

a = 48,33 − 3,086·6 = 29,82

ŷ = 29,82 + 3,086·x

Voorspelde waarde

ŷ = 29,82 + 3,086·2 = 35,99

Residu

e = 40 − 35,99 = 4,01

Antwoord

e = 4,01

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 3,774

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 120·66/220 = 36, 120·66/220 = 36, 120·88/220 = 48

nachtdienst: 100·66/220 = 30, 100·66/220 = 30, 100·88/220 = 40

Chikwadraatgrootheid

χ² = (41 − 36)²/36 + (30 − 36)²/36 + (49 − 48)²/48 + (25 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (39 − 40)²/40

χ² = 3,774

Antwoord

χ² = 3,774

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 6

Vrijheidsgraden

df = 7 − 1 = 6

Antwoord

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology