Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 24, 17, 22, 41.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 125.

μ = 100σ = 20x = 125

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 9p = 0,6k = 3

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 62,5 a 80 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 62,5x₂ = 80

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 47). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 47)

e =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 73 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 10x̄ = 73s = 8,590%t(9) = 1,833

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 15E = 0,590%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 120; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 25. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 124,7. Przetestuj H₀: μ = 120 przeciw H₁: μ > 120. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 120σ = 25n = 100x̄ = 124,7H₁: μ > μ₀

p =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 122,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 122,3σ = 12n = 6490%

U =

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1802 × 3

χ² =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,01, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 1403 × 2α = 0,01

χ² =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,555

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 137/5 = 27,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 5,6² + (−3,4)² + (−10,4)² + (−5,4)² + 13,6² = 365,2

Odchylenie standardowe

s = √(365,2/4) = 9,555

Odpowiedź

s = 9,555

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (125 − 100)/20 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 9,206

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,05 + 20·0,3 + 30·0,3 + 40·0,35 = 29,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,05 + 400·0,3 + 900·0,3 + 1600·0,35 = 955

Wariancja

Var(X) = 955 − 29,5² = 84,75

σ = √84,75 = 9,206

Odpowiedź

σ = 9,206

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,07432

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 84·0,6³·0,4⁶ = 84·0,216·0,004096 = 0,07432

Odpowiedź

P = 0,07432

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5319

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Pole pomiędzy

P = Φ(1,5) − Φ(−0,25) = 0,9332 − 0,4013 = 0,5319

Odpowiedź

P = 0,5319

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9452

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Odpowiedź

P = 0,9452

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9165

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 335/6 = 55,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 680,8

Współczynnik determinacji

r² = 104,5²/(17,5·680,8) = 0,9165

Odpowiedź

r² = 0,9165

Około 91,65% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,814

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 309/6 = 51,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81,5

Prosta regresji

b = 81,5/17,5 = 4,657

a = 51,5 − 4,657·3,5 = 35,2

ŷ = 35,2 + 4,657·x

Wartość przewidywana

ŷ = 35,2 + 4,657·1,5 = 42,19

Reszta

e = 47 − 42,19 = 4,814

Odpowiedź

e = 4,814

Punkt leży nad prostą.

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,927

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margines błędu

E = 1,833·8,5/√10 = 4,927

Odpowiedź

E = 4,927

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2436

Wyznacz n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2436

Odpowiedź

n = 2436

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,03005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (124,7 − 120)/2,5 = 1,88

Pole ogona

Φ(1,88) = 0,9699

1 − Φ(1,88) = 0,0301

Wartość p

p = 0,03005

Odpowiedź

p = 0,03005

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 124,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Granica przedziału

U = 122,3 + 2,468 = 124,8

Odpowiedź

U = 124,8

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,425

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

studenci: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36

pracownicy: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (12 − 12)²/12 + (34 − 32)²/32 + (34 − 36)²/36 + (15 − 15)²/15 + (38 − 40)²/40 + (47 − 45)²/45

χ² = 0,425

Odpowiedź

χ² = 0,425

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 3,507

Liczebności oczekiwane

wiek 18–30: 24, 36

wiek 31–50: 16, 24

wiek 51+: 16, 24

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (19 − 24)²/24 + (41 − 36)²/36 + (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (20 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24

χ² = 3,507

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 9,210

3,507 < 9,210

Odpowiedź

χ² = 3,507

χ² jest mniejsze od wartości krytycznej, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀: brak istotnych dowodów na związek.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice