Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 43, 49, 58, 46, 40, 36.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 53.

μ = 50σ = 5x = 53

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 9

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,6

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8812. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8812

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 60% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 80?

n = 6ŷ = 80

x =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 13 elementów ma średnią 76,5 i odchylenie standardowe s = 7. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 13x̄ = 76,5s = 790%t(12) = 1,782

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 29. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 29E = 399%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 196,4 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,4s = 20n = 25

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ < 50 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 20. W rzeczywistości średnia wynosi 46.25. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 50μ = 46,25σ = 20n = 64α = 0,10

1 − β = %

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 3

χ² =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 5 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 7,685

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 272/6 = 45,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,333)² + 3,667² + 12,67² + 0,6667² + (−5,333)² + (−9,333)² = 295,3

Odchylenie standardowe

s = √(295,3/5) = 7,685

Odpowiedź

s = 7,685

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (53 − 50)/5 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,07692

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Odpowiedź

P = 0,07692

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,00852

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Dodaj

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Odpowiedź

P = 0,00852

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,56

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8812)/2 = 0,9406

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9406 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,56

Odpowiedź

z = 1,56

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 490 h

Pole po lewej

Φ(z) = 0,4

z z tablicy

z ≈ −0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Odpowiedź

x = 490 h

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9167

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 129/5 = 25,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 52,8

Współczynnik determinacji

r² = −22²/(10·52,8) = 0,9167

Odpowiedź

r² = 0,9167

Około 91,67% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 19,58

Średnie

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 553/6 = 92,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 655,5

Prosta regresji

b = 655,5/157,5 = 4,162

a = 92,17 − 4,162·22,5 = −1,476

ŷ = −1,476 + 4,162·x

Wyznacz x

x = (80 − (−1,476))/4,162 = 19,58

Odpowiedź

x = 19,58

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 79,96

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Margines błędu

E = 1,782·7/√13 = 3,46

Przedział

76,5 ± 3,46 → [73,04, 79,96]

Odpowiedź

górna granica = 79,96

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 621

Wyznacz n

n = (2,576·29/3)² = 620,1

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 621

Odpowiedź

n = 621

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Statystyka testowa

t = (196,4 − 200)/4 = −0,9

Odpowiedź

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 58,63 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 50 − 1,282·2,5 = 46,8

z przy prawdziwej średniej

z = (46,8 − 46,25)/2,5 = 0,218

Moc

moc = P(Z < 0.218) = 58.63%

1 − β = 58,63%

Odpowiedź

1 − β = 58,63%

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 5,04

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

studenci: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25

pracownicy: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (48 − 50)²/50 + (30 − 25)²/25 + (22 − 25)²/25 + (22 − 20)²/20 + (5 − 10)²/10 + (13 − 10)²/10

χ² = 5,04

Odpowiedź

χ² = 5,04

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 7,815

Stopnie swobody

df = 5 − 1 − 1 = 3

Tabela

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Odpowiedź

χ²_crit = 7,815

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice