Zadania do ćwiczeń z AP Statistics: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 35, 28, 26, 19, 36.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 42.

μ = 60σ = 15x = 42

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 12p = 0,7

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 29,3 a 44,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 29,3x₂ = 44,3

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

7.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

8.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (7,5, 73). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(7,5, 73)

e =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 43 i odchylenie standardowe s = 17,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 15x̄ = 43s = 17,595%t(14) = 2,145

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 26E = 195%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 198,2 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 5n = 36

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 22. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 95%δ = 3σ = 22z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1802 × 3

χ² =

14.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 6,676

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 167/6 = 27,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−4,833)² + 7,167² + 0,1667² + (−1,833)² + (−8,833)² + 8,167² = 222,8

Odchylenie standardowe

s = √(222,8/5) = 6,676

Odpowiedź

s = 6,676

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (42 − 60)/15 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 6,6

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,15 + 36·0,35 = 15,6

Wariancja

Var(X) = 15,6 − 3² = 6,6

Odpowiedź

Var(X) = 6,6

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 1,541 × 10⁻⁵

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,3¹² = 5,314 × 10⁻⁷

P(X = 1) = 12·0,7·0,3¹¹ = 1,488 × 10⁻⁵

Dodaj

P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵

Odpowiedź

P = 1,541 × 10⁻⁵

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6535

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (29,3 − 32)/6 = −0,45

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−0,45) = 0,9798 − 0,3264 = 0,6535

Odpowiedź

P = 0,6535

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 182,7 cm

z dla percentyla

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Powrót do x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Odpowiedź

x = 182,72 cm

7.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9677

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 340/6 = 56,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1157

Współczynnik determinacji

r² = 280²/(70·1157) = 0,9677

Odpowiedź

r² = 0,9677

Około 96,77% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

8.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 5,2

Średnie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 354/6 = 59

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77

Prosta regresji

b = 77/17,5 = 4,4

a = 59 − 4,4·5,5 = 34,8

ŷ = 34,8 + 4,4·x

Wartość przewidywana

ŷ = 34,8 + 4,4·7,5 = 67,8

Reszta

e = 73 − 67,8 = 5,2

Odpowiedź

e = 5,2

Punkt leży nad prostą.

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 33,31

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margines błędu

E = 2,145·17,5/√15 = 9,692

Przedział

43 ± 9,692 → [33,31, 52,69]

Odpowiedź

dolna granica = 33,31

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2597

Wyznacz n

n = (1,96·26/1)² = 2597

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2597

Odpowiedź

n = 2597

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,16

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statystyka testowa

t = (198,2 − 200)/0,8333 = −2,16

Odpowiedź

t = −2,16

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 583

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,645)·22/3)² = 582,1

Zaokrąglij w górę

n = 583

Odpowiedź

n = 583

13.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 1,313

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

studenci: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48

pracownicy: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (39 − 36)²/36 + (36 − 36)²/36 + (45 − 48)²/48 + (15 − 18)²/18 + (18 − 18)²/18 + (27 − 24)²/24

χ² = 1,313

Odpowiedź

χ² = 1,313

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

14.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 15,31

Liczebności oczekiwane

zakład A: 60, 40

zakład B: 60, 40

zakład C: 24, 16

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (46 − 60)²/60 + (54 − 40)²/40 + (73 − 60)²/60 + (27 − 40)²/40 + (25 − 24)²/24 + (15 − 16)²/16

χ² = 15,31

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 5,991

15,31 > 5,991

Odpowiedź

χ² = 15,31

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice