Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (√(4x2 + 9x) − 2x).

f(x) = √(4x2 + 9x) − 2xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 4x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = 0,5

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(x), x w radianach. Wyznacz f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x
x =
5.OptymalizacjaŚredni
strona od ulicy: €40/m€10/myyx

Prostokątna działka o powierzchni 600 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €40 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €10 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 600 m²€40/m€10/m
C = €
6.OptymalizacjaTrudny
qP(q)maksimum

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €80 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 300 + 70q + 0,02q² euro. Wyznacz produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = €80C = 300 + 70q + 0,02q²
q = szt.
7.CałkiŚredni
xy4y = 3x

Obszar pod krzywą y = 3x od x = 0 do x = 4 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 3x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.CałkiTrudny
xy2,5y = x²eˣ

Oblicz I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.

∫₀2,5 x²eˣ dx
I =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 2,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 9x/(√(4x2 + 9x) + 2x)

Podziel przez x

f(x) = 9/(√(4 + 9/x) + 2)

Niech x → ∞

L = 9/(2 + 2) = 2,25

Odpowiedź

L = 2,25
2.Granice

Odpowiedź: L = 4

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

16·cos 4x/4

Podstaw x = 0

L = 16/4 = 4

Odpowiedź

L = 4
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0.5) = 0,9182

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Podstaw

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Odpowiedź

f′(0,5) = 0,9182
4.Pochodne

Odpowiedź: x = 3

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 3 lub x = 6

Które jest które

f″(x) = 6x − 27: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 3

Odpowiedź

x = 3
5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 1549 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 50x + 12000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 24000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(12000/50) = 15,49 m
y = 600/15,49 = 38,73 m

Koszt minimalny

C = 50·15,49 + 12000/15,49 = €1549

Odpowiedź

C = €1549
6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 250 szt.

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Funkcja zysku

P(q) = 80q − (300 + 70q + 0,02q²) = −0,02q2 + 10q − 300

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,04 < 0, więc jest to maksimum.

10 − 0,04q = 0 → q = 250

Maksymalny zysk

P = 10·250 − 0,02·250² − 300 = €950

Odpowiedź

q = 250
7.Całki

Odpowiedź: V = 603,2

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀4 9x² dx

Całkuj

V = π·9·4³/3 = 603,2

Odpowiedź

V = 603,2

Sprawdzenie: stożek o promieniu 12 i wysokości 4 ma (1/3)πr²h = 603,2.

8.Całki

Odpowiedź: I = 37,59

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Pierwsza runda

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Druga runda

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Granice

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Odpowiedź

I = 37,59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1