Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(4x² − 6x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 6x) − 2xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(2x), x w radianach. Wyznacz f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 0,5x² − 4x + 4 w x = 2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x² − 4x + 4x = 2

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 4000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz wysokość h.

V = 4000 cm³

h = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 200 − 1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 200 + 145q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 200 − 1qC = 200 + 145q

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 1 − x² a osią x.

y = 1 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −1,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −6x/(√(4x² − 6x) + 2x)

Podziel przez x

f(x) = −6/(√(4 + (−6)/x) + 2)

Niech x → ∞

L = −6/(2 + 2) = −1,5

Odpowiedź

L = −1,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 4

Pierwsze zastosowanie

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

16·cos 4x/4

Podstaw x = 0

L = 16/4 = 4

Odpowiedź

L = 4

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = −3,371

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Podstaw

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Odpowiedź

f′(2) = −3,371

4.Pochodne

Odpowiedź: b = 2

Punkt i nachylenie

f(2) = −2

f′(x) = x − 4 → f′(2) = −2

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−2)·2 = 2

Odpowiedź

b = 2

5.Optymalizacja

Odpowiedź: h = 10 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 16000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Wysokość i pole

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Odpowiedź

h = 10 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 27,5 szt.

Funkcja zysku

P(q) = (200 − 1q)·q − (200 + 145q) = −q² + 55q − 200

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −2 < 0, więc jest to maksimum.

q = 55/2 = 27,5

Cena i zysk

p = 200 − 1·27,5 = €172,5

P = 55·27,5 − 1·27,5² − 200 = €556,3

Odpowiedź

q = 27,5

7.Całki

Odpowiedź: I = 2,079

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 3·ln x

Podstaw granice

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Odpowiedź

I = 2,079

8.Całki

Odpowiedź: A = 1,333

Miejsca zerowe

1 − x² = 0 → x = ±1

Całkuj

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Odpowiedź

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1