Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (−3x² + x + 5)/(x² + 2x + 8).

f(x) = (−3x² + x + 5)/(x² + 2x + 8)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(3x² + 1). Wyznacz f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 1)x = −2

f′(−2) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 1. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 1

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 13500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz wysokość h.

V = 13500 cm³

h = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Teatr sprzedaje 1000 biletów na przedstawienie po €10 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 25 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 25 więcej). Wyznacz maksymalny przychód R z jednego przedstawienia.

1000 × €1025 / €1

R = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₁² 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Obszar między prostą y = 3x a parabolą y = 3x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 3xy = 3x²

V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −3

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(−3 + 1/x + 5/x²)/(1 + 2/x + 8/x²)

Niech x → ∞

L = −3/1 = −3

Odpowiedź

L = −3

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 2,5

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

Podstaw x = 0

L = 5/2 = 2,5

Odpowiedź

L = 2,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−2) = −0,9231

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Podstaw

f′(−2) = −12/13 = −0,9231

Odpowiedź

f′(−2) = −0,9231

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −1

Pochodna

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −4 lub x = −1

Które jest które

f″(x) = 6x + 15: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

Odpowiedź

x = −1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: h = 15 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 54000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Wysokość i pole

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Odpowiedź

h = 15 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: R = 15625 €

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 1250 − 25p

R(p) = 1250p − 25p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −50 < 0, więc jest to maksimum.

p = 1250/50 = €25

Maksymalny przychód

n = 1250 − 25·25 = 625

R = 25·625 = €15625

Odpowiedź

R = €15625

7.Całki

Odpowiedź: I = 2,079

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 3·ln x

Podstaw granice

I = 3·(ln 2 − ln 1) = 3·ln 2 = 2,079

Odpowiedź

I = 2,079

8.Całki

Odpowiedź: V = 3,77

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Metoda pierścieni

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Całkuj

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Odpowiedź

V = 3,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1