Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (√(x2 + 4x) − x).

f(x) = √(x2 + 4x) − xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 5x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = −1

Dana jest funkcja f(x) = ln(3x2 + 5). Wyznacz f′(−1).

f(x) = ln(3x2 + 5)x = −1
f′(−1) =
4.PochodneTrudny
xyx = −2

Styczna do f(x) = −x2 + 2x − 2 w x = −2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = −x2 + 2x − 2x = −2
b =
5.OptymalizacjaŚredni
xhxbez pokrywki

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 13500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 13500 cm³
x = cm
6.OptymalizacjaTrudny
p (€)R(p)15teraz

Teatr sprzedaje 1050 biletów na przedstawienie po €15 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 50 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 50 więcej). Wyznacz cenę biletu p, która maksymalizuje przychód.

1050 × €1550 / €1
p = €
7.CałkiŚredni
xy16y = x ln x

Oblicz I = ∫₁6 x·ln x dx.

∫₁6 x ln x dx
I =
8.CałkiTrudny
xy3y = 3xy = x²

Obszar między prostą y = 3x a parabolą y = x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 3xy = x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 2

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 4x/(√(x2 + 4x) + x)

Podziel przez x

f(x) = 4/(√(1 + 4/x) + 1)

Niech x → ∞

L = 4/(1 + 1) = 2

Odpowiedź

L = 2
2.Granice

Odpowiedź: L = 6,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

5·sin 5x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

25·cos 5x/4

Podstaw x = 0

L = 25/4 = 6,25

Odpowiedź

L = 6,25
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −0,75

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 6x/(3x2 + 5)

Podstaw

f′(−1) = −6/8 = −0,75

Odpowiedź

f′(−1) = −0,75
4.Pochodne

Odpowiedź: b = 2

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(−2) = −10
f′(x) = −2x + 2 → f′(−2) = 6

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −10 − 6·(−2) = 2

Odpowiedź

b = 2
5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 30 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 54000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Wysokość i pole

h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Odpowiedź

x = 30 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 18 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 1800 − 50p
R(p) = 1800p − 50p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −100 < 0, więc jest to maksimum.

p = 1800/100 = €18

Maksymalny przychód

n = 1800 − 50·18 = 900
R = 18·900 = €16200

Odpowiedź

p = €18
7.Całki

Odpowiedź: I = 23,5

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Funkcja pierwotna

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Granice

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

Odpowiedź

I = 23,5
8.Całki

Odpowiedź: V = 101,8

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

3x = 1x² → x = 0, x = 3

Metoda pierścieni

V = π∫₀3 ((3x)² − (1x²)²) dx

Całkuj

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

Odpowiedź

V = 101,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1