Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(9x² + 10x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 10x) − 3xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x³·e^2x. Wyznacz f′(0,5).

f(x) = x³·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² − x + 1 w x = 2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² − x + 1x = 2

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 600 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €20 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €10 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 600 m²€20/m€10/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €75 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1400 + 38q + 0,05q² euro. Wyznacz produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = €75C = 1400 + 38q + 0,05q²

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 1 − x² a osią x.

y = 1 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1,667

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 10x/(√(9x² + 10x) + 3x)

Podziel przez x

f(x) = 10/(√(9 + 10/x) + 3)

Niech x → ∞

L = 10/(3 + 3) = 1,667

Odpowiedź

L = 1,667

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Pierwsze zastosowanie

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·cos 2x/8

Podstaw x = 0

L = 4/8 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0.5) = 2,718

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Podstaw

f′(0,5) = 2,718·(0,75 + 0,25) = 2,718

Odpowiedź

f′(0,5) = 2,718

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −11

Punkt i nachylenie

f(2) = 11

f′(x) = 6x − 1 → f′(2) = 11

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11 − 11·2 = −11

Odpowiedź

b = −11

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 1200 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 30x + 12000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 24000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(12000/30) = 20 m

y = 600/20 = 30 m

Koszt minimalny

C = 30·20 + 12000/20 = €1200

Odpowiedź

C = €1200

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 370 szt.

Funkcja zysku

P(q) = 75q − (1400 + 38q + 0,05q²) = −0,05q² + 37q − 1400

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,1 < 0, więc jest to maksimum.

37 − 0,1q = 0 → q = 370

Maksymalny zysk

P = 37·370 − 0,05·370² − 1400 = €5445

Odpowiedź

q = 370

7.Całki

Odpowiedź: I = 12

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

Odpowiedź

I = 12

8.Całki

Odpowiedź: A = 1,333

Miejsca zerowe

1 − x² = 0 → x = ±1

Całkuj

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Odpowiedź

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1