Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (−x³ − 6x − 1)/(5x³ + 2x + 3).

f(x) = (−x³ − 6x − 1)/(5x³ + 2x + 3)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x³·e^−x. Wyznacz f′(1).

f(x) = x³·e^−xx = 1

f′(1) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² + x + 1 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² + x + 1x = 3

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 200 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €12 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 200 m²€30/m€12/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 70 − 0,2q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 900 + 10q euro. Wyznacz maksymalny tygodniowy zysk P.

p = 70 − 0,2qC = 900 + 10q

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −0,2

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(−1 + (−6)/x² + (−1)/x³)/(5 + 2/x² + 3/x³)

Niech x → ∞

L = −1/5 = −0,2

Odpowiedź

L = −0,2

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Pierwsze zastosowanie

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

1·e^−x/2

Podstaw x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 0,7358

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Podstaw

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Odpowiedź

f′(1) = 0,7358

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −26

Punkt i nachylenie

f(3) = 31

f′(x) = 6x + 1 → f′(3) = 19

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 31 − 19·3 = −26

Odpowiedź

b = −26

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 898 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 42x + 4800/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 9600/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(4800/42) = 10,69 m

y = 200/10,69 = 18,71 m

Koszt minimalny

C = 42·10,69 + 4800/10,69 = €898

Odpowiedź

C = €898

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 3600 €

Funkcja zysku

P(q) = (70 − 0,2q)·q − (900 + 10q) = −0,2q² + 60q − 900

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,4 < 0, więc jest to maksimum.

q = 60/0,4 = 150

Cena i zysk

p = 70 − 0,2·150 = €40

P = 60·150 − 0,2·150² − 900 = €3600

Odpowiedź

P = €3600

7.Całki

Odpowiedź: I = 6,389

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^x/1

Podstaw granice

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Odpowiedź

I = 6,389

8.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1