Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (x³ + 5x + 3)/(4x³ + 4x + 4).

f(x) = (x³ + 5x + 3)/(4x³ + 4x + 4)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x²·e^−0,5x. Wyznacz f′(2).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 2

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 15x² + 63x + 1. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ − 15x² + 63x + 1

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 400 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz promień r, przy którym zużywa się najmniej materiału.

V = 400 cm³

r = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 110 − 2q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 200 + 55q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 110 − 2qC = 200 + 55q

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x w radianach).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.CałkiTrudny

Obszar między prostą y = 4x a parabolą y = 3x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 4xy = 3x²

V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 0,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(1 + 5/x² + 3/x³)/(4 + 4/x² + 4/x³)

Niech x → ∞

L = 1/4 = 0,25

Odpowiedź

L = 0,25

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Pierwsze zastosowanie

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Drugie zastosowanie

1·e^−x/2

Podstaw x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 0,7358

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Podstaw

f′(2) = 0,3679·(4 + (−2)) = 0,7358

Odpowiedź

f′(2) = 0,7358

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 7

Pochodna

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 3 lub x = 7

Które jest które

f″(x) = 6x − 30: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 7

Odpowiedź

x = 7

5.Optymalizacja

Odpowiedź: r = 3,993 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

Przyrównaj pochodną do zera

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, więc jest to minimum.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Wysokość i pole

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm

A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Odpowiedź

r = 3,993 cm

Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 13,75 szt.

Funkcja zysku

P(q) = (110 − 2q)·q − (200 + 55q) = −2q² + 55q − 200

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −4 < 0, więc jest to maksimum.

q = 55/4 = 13,75

Cena i zysk

p = 110 − 2·13,75 = €82,5

P = 55·13,75 − 2·13,75² − 200 = €178,1

Odpowiedź

q = 13,75

7.Całki

Odpowiedź: I = 0,4069

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Funkcja pierwotna

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Granice

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Odpowiedź

I = 0,4069

8.Całki

Odpowiedź: V = 15,89

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

4x = 3x² → x = 0, x = 1,333

Metoda pierścieni

V = π∫₀^1,333 ((4x)² − (3x²)²) dx

Całkuj

V = π(16·1,333³/3 − 9·1,333⁵/5) = π·5,057 = 15,89

Odpowiedź

V = 15,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1