Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (1 + 2/x)x. Podaj wartość dziesiętną.

f(x) = (1 + 2/x)xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 3x)/(4x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = −1

Dana jest funkcja f(x) = (−2x − 1)5. Wyznacz f′(−1).

f(x) = (−2x − 1)5x = −1
f′(−1) =
4.PochodneTrudny
xyx = 3

Styczna do f(x) = 0,5x2 − 4x + 6 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x2 − 4x + 6x = 3
b =
5.OptymalizacjaŚredni
xhxbez pokrywki

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 13500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 13500 cm³
x = cm
6.OptymalizacjaTrudny
p (€)R(p)20teraz

Teatr sprzedaje 1550 biletów na przedstawienie po €20 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 50 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 50 więcej). Wyznacz cenę biletu p, która maksymalizuje przychód.

1550 × €2050 / €1
p = €
7.CałkiŚredni
xy3y = 3x

Obszar pod krzywą y = 3x od x = 0 do x = 3 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = 3x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.CałkiTrudny
xy2,5y = 5xy = 2x²

Obszar między prostą y = 5x a parabolą y = 2x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 5xy = 2x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 7,389

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Zlogarytmuj

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 2/x)

Oblicz

ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·2 = 2

Odwróć logarytm

L = e2 = 7,389

Odpowiedź

L = 7,389
2.Granice

Odpowiedź: L = 1,125

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Drugie zastosowanie

9·cos 3x/8

Podstaw x = 0

L = 9/8 = 1,125

Odpowiedź

L = 1,125
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −10

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 5·(−2x − 1)4·(−2)

Podstaw

f′(−1) = 5·14·(−2) = −10

Odpowiedź

f′(−1) = −10
4.Pochodne

Odpowiedź: b = 1,5

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(3) = −1,5
f′(x) = x − 4 → f′(3) = −1

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1,5 − (−1)·3 = 1,5

Odpowiedź

b = 1,5
5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 30 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 54000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Wysokość i pole

h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Odpowiedź

x = 30 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 25,5 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 2550 − 50p
R(p) = 2550p − 50p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −100 < 0, więc jest to maksimum.

p = 2550/100 = €25,5

Maksymalny przychód

n = 2550 − 50·25,5 = 1275
R = 25,5·1275 = €32513

Odpowiedź

p = €25,5
7.Całki

Odpowiedź: V = 254,5

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀3 9x² dx

Całkuj

V = π·9·3³/3 = 254,5

Odpowiedź

V = 254,5

Sprawdzenie: stożek o promieniu 9 i wysokości 3 ma (1/3)πr²h = 254,5.

8.Całki

Odpowiedź: V = 163,6

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Metoda pierścieni

V = π∫₀2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Całkuj

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Odpowiedź

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1