Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Oblicz granicę L = limx→∞ (4x3 + 6x − 3)/(5x3 + 4x + 8).
Oblicz granicę L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(4x), z x w radianach.
Dana jest funkcja f(x) = x2·e−0,5x. Wyznacz f′(1).
Styczna do f(x) = 0,5x2 − 4x + 4 w x = 1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.
Prostokątna działka o powierzchni 400 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €5 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.
Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 80 − 1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 500 + 20q euro. Wyznacz maksymalny tygodniowy zysk P.
Oblicz I = ∫210 4/x dx.
Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x2 i y = 2x.
Odpowiedź: L = 0,8
Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).
Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.
Odpowiedź: L = 0,5
Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).
Odpowiedź: f′(1) = 0,9098
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: b = 3,5
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: C = 748,3 €
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
C″(x) = 8000/x³ > 0, więc jest to minimum.
Odpowiedź: P = 400 €
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
P″(q) = −2 < 0, więc jest to maksimum.
Odpowiedź: I = 6,438
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
Odpowiedź: A = 5,333
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1