Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Oblicz granicę L = limx→∞ (1 + 0,5/x)2x. Podaj wartość dziesiętną.
Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), z x w radianach.
Dana jest funkcja f(x) = ln(x2 + 5). Wyznacz f′(−1).
Styczna do f(x) = x2 + 5x + 5 w x = −2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.
Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 1000 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni A.
Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €75 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 300 + 60q + 0,05q² euro. Wyznacz produkcję q, która maksymalizuje zysk.
Obszar pod krzywą y = x od x = 0 do x = 2 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).
Obszar między prostą y = 3x a parabolą y = x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.
Odpowiedź: L = 2,718
Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).
ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.
Odpowiedź: L = 2,25
Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).
Odpowiedź: f′(−1) = −0,3333
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: b = 1
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: A = 553,6 cm²
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, więc jest to minimum.
Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.
Odpowiedź: q = 150 szt.
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
P″(q) = −0,1 < 0, więc jest to maksimum.
Odpowiedź: V = 8,378
Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.
Sprawdzenie: stożek o promieniu 2 i wysokości 2 ma (1/3)πr²h = 8,378.
Odpowiedź: V = 101,8
Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1