Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 6x) − x).

f(x) = √(x² − 6x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(2x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 2x² − 4x − 1 w x = 1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 2x² − 4x − 1x = 1

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 4000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz minimalne pole powierzchni S.

V = 4000 cm³

S = cm²

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €75 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1700 + 38q + 0,1q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €75C = 1700 + 38q + 0,1q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 4x.

y = 2x²y = 4x

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −3

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −6x/(√(x² − 6x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

Odpowiedź

L = −3

2.Granice

Odpowiedź: L = 4

Pierwsze zastosowanie

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

16·cos 4x/4

Podstaw x = 0

L = 16/4 = 4

Odpowiedź

L = 4

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −2,829

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Podstaw

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Odpowiedź

f′(1,5) = −2,829

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −3

Punkt i nachylenie

f(1) = −3

f′(x) = 4x − 4 → f′(1) = 0

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 0·1 = −3

Odpowiedź

b = −3

5.Optymalizacja

Odpowiedź: S = 1200 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 16000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Wysokość i pole

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Odpowiedź

S = 1200 cm²

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 1723 €

Funkcja zysku

P(q) = 75q − (1700 + 38q + 0,1q²) = −0,1q² + 37q − 1700

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,2 < 0, więc jest to maksimum.

37 − 0,2q = 0 → q = 185

Maksymalny zysk

P = 37·185 − 0,1·185² − 1700 = €1723

Odpowiedź

P = €1723

7.Całki

Odpowiedź: I = 156

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Odpowiedź

I = 156

8.Całki

Odpowiedź: A = 2,667

Punkty przecięcia

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Całkuj górną minus dolną

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Odpowiedź

A = 2,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1