Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² + 6x) − x).

f(x) = √(x² + 6x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(2x), x w radianach. Wyznacz f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = x² + x + 2 w x = 1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = x² + x + 2x = 1

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 300 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €12 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 300 m²€30/m€12/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 180 − 1q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 300 + 120q euro. Wyznacz maksymalny tygodniowy zysk P.

p = 180 − 1qC = 300 + 120q

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 1 − x² a osią x.

y = 1 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 3

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 6x/(√(x² + 6x) + x)

Podziel przez x

f(x) = 6/(√(1 + 6/x) + 1)

Niech x → ∞

L = 6/(1 + 1) = 3

Odpowiedź

L = 3

2.Granice

Odpowiedź: L = 0,6667

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Podstaw x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Odpowiedź

L = 0,6667

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0.5) = 1,382

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Podstaw

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Odpowiedź

f′(0,5) = 1,382

4.Pochodne

Odpowiedź: b = 1

Punkt i nachylenie

f(1) = 4

f′(x) = 2x + 1 → f′(1) = 3

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 3·1 = 1

Odpowiedź

b = 1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 1100 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 42x + 7200/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 14400/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(7200/42) = 13,09 m

y = 300/13,09 = 22,91 m

Koszt minimalny

C = 42·13,09 + 7200/13,09 = €1100

Odpowiedź

C = €1100

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 600 €

Funkcja zysku

P(q) = (180 − 1q)·q − (300 + 120q) = −q² + 60q − 300

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −2 < 0, więc jest to maksimum.

q = 60/2 = 30

Cena i zysk

p = 180 − 1·30 = €150

P = 60·30 − 1·30² − 300 = €600

Odpowiedź

P = €600

7.Całki

Odpowiedź: I = 2,079

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 3·ln x

Podstaw granice

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Odpowiedź

I = 2,079

8.Całki

Odpowiedź: A = 1,333

Miejsca zerowe

1 − x² = 0 → x = ±1

Całkuj

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Odpowiedź

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1