Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Oblicz granicę L = limx→∞ (1 + 3/x)2x. Podaj wartość dziesiętną.
Oblicz granicę L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².
Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).
Styczna do f(x) = 3x2 + x + 5 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.
Prostokątna działka o powierzchni 400 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €30 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €8 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.
Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €25 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 5500 + 4q + 0,01q² euro. Wyznacz produkcję q, która maksymalizuje zysk.
Obszar pod krzywą y = x od x = 0 do x = 1 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).
Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x2 i y = 3x.
Odpowiedź: L = 403,4
Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).
ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.
Odpowiedź: L = 1,125
Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).
Odpowiedź: f′(1.5) = −1,926
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: b = −22
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: C = 986,3 €
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
C″(x) = 12800/x³ > 0, więc jest to minimum.
Odpowiedź: q = 1050 szt.
Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.
P″(q) = −0,02 < 0, więc jest to maksimum.
Odpowiedź: V = 1,047
Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.
Sprawdzenie: stożek o promieniu 1 i wysokości 1 ma (1/3)πr²h = 1,047.
Odpowiedź: A = 18
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1