Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (−3x² + 2x − 4)/(x² + 6x + 8).

f(x) = (−3x² + 2x − 4)/(x² + 6x + 8)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x²·e^x. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x²·e^xx = 1,5

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² + x + 4 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² + x + 4x = 3

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 450 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €15 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €5 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 450 m²€15/m€5/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €45 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 13700 + 8q + 0,01q² euro. Wyznacz produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = €45C = 13700 + 8q + 0,01q²

q = szt.

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁸ 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 8]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −3

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(−3 + 2/x + (−4)/x²)/(1 + 6/x + 8/x²)

Niech x → ∞

L = −3/1 = −3

Odpowiedź

L = −3

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 2

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

Podstaw x = 0

L = 4/2 = 2

Odpowiedź

L = 2

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = 23,53

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

Podstaw

f′(1,5) = 4,482·(3 + 2,25) = 23,53

Odpowiedź

f′(1,5) = 23,53

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −23

Punkt i nachylenie

f(3) = 34

f′(x) = 6x + 1 → f′(3) = 19

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 34 − 19·3 = −23

Odpowiedź

b = −23

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 600 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 20x + 4500/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 9000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(4500/20) = 15 m

y = 450/15 = 30 m

Koszt minimalny

C = 20·15 + 4500/15 = €600

Odpowiedź

C = €600

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 1850 szt.

Funkcja zysku

P(q) = 45q − (13700 + 8q + 0,01q²) = −0,01q² + 37q − 13700

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,02 < 0, więc jest to maksimum.

37 − 0,02q = 0 → q = 1850

Maksymalny zysk

P = 37·1850 − 0,01·1850² − 13700 = €20525

Odpowiedź

q = 1850

7.Całki

Odpowiedź: I = 2,773

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 2·ln x

Podstaw granice

I = 2·(ln 8 − ln 2) = 2·ln 4 = 2,773

Odpowiedź

I = 2,773

8.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1