Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (2x2 + 6x − 3)/(2x2 + 6x + 2).

f(x) = (2x2 + 6x − 3)/(2x2 + 6x + 2)x → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(x)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(x), x w radianach. Wyznacz f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad
f′(1) =
4.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 − 12x − 5. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x3 − 12x − 5
x =
5.OptymalizacjaŚredni
xhxbez pokrywki

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 62500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz minimalne pole powierzchni S.

V = 62500 cm³
S = cm²
6.OptymalizacjaTrudny
qP(q)maksimum

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €20 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 100 + 6q + 0,25q² euro. Wyznacz produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = €20C = 100 + 6q + 0,25q²
q = szt.
7.CałkiŚredni
xy4y = √(2x)

Obszar pod krzywą y = √(2x) od x = 0 do x = 4 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (paraboloidy).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.CałkiTrudny
xyy = 2x2​y = 3x

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x2 i y = 3x.

y = 2x2y = 3x
A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(2 + 6/x + (−3)/x2)/(2 + 6/x + 2/x2)

Niech x → ∞

L = 2/2 = 1

Odpowiedź

L = 1

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 4

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Reguła de l'Hospitala

L = limx→0 [4/(1 + 4x)]/[cos x]

Podstaw x = 0

L = 4/1 = 4

Odpowiedź

L = 4
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 1,382

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Podstaw

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Odpowiedź

f′(1) = 1,382
4.Pochodne

Odpowiedź: x = −2

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 − 12 = 3·(x2 − 4)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −2 lub x = 2

Które jest które

f″(x) = 6x: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12
x = −2

Odpowiedź

x = −2
5.Optymalizacja

Odpowiedź: S = 7500 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 250000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Wysokość i pole

h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Odpowiedź

S = 7500 cm²

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 28 szt.

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Funkcja zysku

P(q) = 20q − (100 + 6q + 0,25q²) = −0,25q2 + 14q − 100

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,5 < 0, więc jest to maksimum.

14 − 0,5q = 0 → q = 28

Maksymalny zysk

P = 14·28 − 0,25·28² − 100 = €96

Odpowiedź

q = 28
7.Całki

Odpowiedź: V = 50,27

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀4 2x dx

Całkuj

V = π·2·4²/2 = 50,27

Odpowiedź

V = 50,27
8.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Punkty przecięcia

2x2 = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x2 − 0,6667x3]01,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1