Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(9x² − 5x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 5x) − 3xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(3x² + 5). Wyznacz f′(2).

f(x) = ln(3x² + 5)x = 2

f′(2) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = −x² + 2x + 2 w x = −1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = −x² + 2x + 2x = −1

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 13500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz wysokość h.

V = 13500 cm³

h = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 190 − 2q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 600 + 80q euro. Wyznacz cenę p, która maksymalizuje zysk.

p = 190 − 2qC = 600 + 80q

p = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −0,8333

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −5x/(√(9x² − 5x) + 3x)

Podziel przez x

f(x) = −5/(√(9 + (−5)/x) + 3)

Niech x → ∞

L = −5/(3 + 3) = −0,8333

Odpowiedź

L = −0,8333

2.Granice

Odpowiedź: L = 1,333

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

Podstaw x = 0

L = 4/3 = 1,333

Odpowiedź

L = 1,333

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 0,7059

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Podstaw

f′(2) = 12/17 = 0,7059

Odpowiedź

f′(2) = 0,7059

4.Pochodne

Odpowiedź: b = 3

Punkt i nachylenie

f(−1) = −1

f′(x) = −2x + 2 → f′(−1) = 4

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − 4·(−1) = 3

Odpowiedź

b = 3

5.Optymalizacja

Odpowiedź: h = 15 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 54000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Wysokość i pole

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Odpowiedź

h = 15 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 135 €

Funkcja zysku

P(q) = (190 − 2q)·q − (600 + 80q) = −2q² + 110q − 600

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −4 < 0, więc jest to maksimum.

q = 110/4 = 27,5

Cena i zysk

p = 190 − 2·27,5 = €135

P = 110·27,5 − 2·27,5² − 600 = €912,5

Odpowiedź

p = €135

7.Całki

Odpowiedź: I = 1,5

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Odpowiedź

I = 1,5

8.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1