Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 7x) − x).

f(x) = √(x² − 7x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·e^−x. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² − 2x − 5 w x = −1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² − 2x − 5x = −1

b =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 62500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 62500 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Teatr sprzedaje 1225 biletów na przedstawienie po €25 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 25 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 25 więcej). Wyznacz maksymalny przychód R z jednego przedstawienia.

1225 × €2525 / €1

R = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁶ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 6]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x² i y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −3,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −7x/(√(x² − 7x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −7/(√(1 + (−7)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −7/(1 + 1) = −3,5

Odpowiedź

L = −3,5

2.Granice

Odpowiedź: L = 2,5

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

Podstaw x = 0

L = 5/2 = 2,5

Odpowiedź

L = 2,5

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −0,1116

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

Podstaw

f′(1,5) = 0,2231·(1 + (−1,5)) = −0,1116

Odpowiedź

f′(1,5) = −0,1116

4.Pochodne

Odpowiedź: b = −8

Punkt i nachylenie

f(−1) = 0

f′(x) = 6x − 2 → f′(−1) = −8

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − (−8)·(−1) = −8

Odpowiedź

b = −8

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 50 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 250000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Wysokość i pole

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Odpowiedź

x = 50 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: R = 34225 €

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 1850 − 25p

R(p) = 1850p − 25p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −50 < 0, więc jest to maksimum.

p = 1850/50 = €37

Maksymalny przychód

n = 1850 − 25·37 = 925

R = 37·925 = €34225

Odpowiedź

R = €34225

7.Całki

Odpowiedź: I = 4,394

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 4·ln x

Podstaw granice

I = 4·(ln 6 − ln 2) = 4·ln 3 = 4,394

Odpowiedź

I = 4,394

8.Całki

Odpowiedź: A = 5,333

Punkty przecięcia

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Całkuj górną minus dolną

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Odpowiedź

A = 5,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1