Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (1 + 3/x)x. Podaj wartość dziesiętną.

f(x) = (1 + 3/x)xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 2x)/(3x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = (−2x + 3)4. Wyznacz f′(1).

f(x) = (−2x + 3)4x = 1
f′(1) =
4.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 3. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 3
x =
5.OptymalizacjaŚredni
xhxbez pokrywki

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 108000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz minimalne pole powierzchni S.

V = 108000 cm³
S = cm²
6.OptymalizacjaTrudny
p (€)R(p)12teraz

Teatr sprzedaje 800 biletów na przedstawienie po €12 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 25 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 25 więcej). Wyznacz maksymalny przychód R z jednego przedstawienia.

800 × €1225 / €1
R = €
7.CałkiŚredni
xy15

Oblicz I = ∫15 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]
I =
8.CałkiTrudny
xy1,5y = 3xy = 2x²

Obszar między prostą y = 3x a parabolą y = 2x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 3xy = 2x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 20,09

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Zlogarytmuj

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 3/x)

Oblicz

ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

Odwróć logarytm

L = e3 = 20,09

Odpowiedź

L = 20,09
2.Granice

Odpowiedź: L = 0,6667

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·cos 2x/6

Podstaw x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Odpowiedź

L = 0,6667
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = −8

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 4·(−2x + 3)3·(−2)

Podstaw

f′(1) = 4·13·(−2) = −8

Odpowiedź

f′(1) = −8
4.Pochodne

Odpowiedź: x = 1

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 − 18x + 15 = 3·(x2 − 6x + 5)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 1 lub x = 5

Które jest które

f″(x) = 6x − 18: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12
x = 1

Odpowiedź

x = 1
5.Optymalizacja

Odpowiedź: S = 10800 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 432000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Wysokość i pole

h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Odpowiedź

S = 10800 cm²

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: R = 12100 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 1100 − 25p
R(p) = 1100p − 25p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −50 < 0, więc jest to maksimum.

p = 1100/50 = €22

Maksymalny przychód

n = 1100 − 25·22 = 550
R = 22·550 = €12100

Odpowiedź

R = €12100
7.Całki

Odpowiedź: I = 8,047

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 5·ln x

Podstaw granice

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8,047

Odpowiedź

I = 8,047
8.Całki

Odpowiedź: V = 12,72

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Metoda pierścieni

V = π∫₀1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

Całkuj

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Odpowiedź

V = 12,72

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1