Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda
zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (√(9x2 − 10x) − 3x).

f(x) = √(9x2 − 10x) − 3xx → ∞
L =
2.GraniceTrudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0
L =
3.PochodneŚredni
xyx = −2

Dana jest funkcja f(x) = ln(x2 + 4). Wyznacz f′(−2).

f(x) = ln(x2 + 4)x = −2
f′(−2) =
4.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 − 6x2 + 9x. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x3 − 6x2 + 9x
x =
5.OptymalizacjaŚredni
rh

Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 500 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni A.

V = 500 cm³
A = cm²
6.OptymalizacjaTrudny
qP(q)maksimum

Firma sprzedaje q sztuk tygodniowo. Cena, po której może je sprzedać, to p = 200 − 0,5q euro za sztukę, a koszt to C(q) = 400 + 165q euro. Wyznacz tygodniową produkcję q, która maksymalizuje zysk.

p = 200 − 0,5qC = 400 + 165q
q = szt.
7.CałkiŚredni
xyπy = x·sin x

Oblicz I = ∫₀π x·sin x dx (x w radianach).

∫₀π x·sin x dx
I =
8.CałkiTrudny
xy3y = 3xy = x²

Obszar między prostą y = 3x a parabolą y = x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 3xy = x²
V =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −1,667

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −10x/(√(9x2 − 10x) + 3x)

Podziel przez x

f(x) = −10/(√(9 + (−10)/x) + 3)

Niech x → ∞

L = −10/(3 + 3) = −1,667

Odpowiedź

L = −1,667
2.Granice

Odpowiedź: L = 0,5

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pierwsze zastosowanie

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Drugie zastosowanie

4·cos 2x/8

Podstaw x = 0

L = 4/8 = 0,5

Odpowiedź

L = 0,5
3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−2) = −0,5

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x2 + 4)

Podstaw

f′(−2) = −4/8 = −0,5

Odpowiedź

f′(−2) = −0,5
4.Pochodne

Odpowiedź: x = 3

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3·(x2 − 4x + 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 1 lub x = 3

Które jest które

f″(x) = 6x − 12: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(1) = −6, f″(3) = 6
x = 3

Odpowiedź

x = 3
5.Optymalizacja

Odpowiedź: A = 348,7 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja r

h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r

Przyrównaj pochodną do zera

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, więc jest to minimum.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Wysokość i pole

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm
A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Odpowiedź

A = 348,7 cm²

Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: q = 35 szt.

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Funkcja zysku

P(q) = (200 − 0,5q)·q − (400 + 165q) = −0,5q2 + 35q − 400

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −1 < 0, więc jest to maksimum.

q = 35/1 = 35

Cena i zysk

p = 200 − 0,5·35 = €182,5
P = 35·35 − 0,5·35² − 400 = €212,5

Odpowiedź

q = 35
7.Całki

Odpowiedź: I = 3,142

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Wybierz u i dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Funkcja pierwotna

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Granice

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Odpowiedź

I = 3,142
8.Całki

Odpowiedź: V = 101,8

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

3x = 1x² → x = 0, x = 3

Metoda pierścieni

V = π∫₀3 ((3x)² − (1x²)²) dx

Całkuj

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

Odpowiedź

V = 101,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1