Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(x² − 4x) − x).

f(x) = √(x² − 4x) − xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 3x² − 9x + 5. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 5

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 800 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €25 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €10 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 800 m²€25/m€10/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €70 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1400 + 46q + 0,02q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €70C = 1400 + 46q + 0,02q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

8.CałkiTrudny

Oblicz I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −2

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = −4x/(√(x² − 4x) + x)

Podziel przez x

f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)

Niech x → ∞

L = −4/(1 + 1) = −2

Odpowiedź

L = −2

2.Granice

Odpowiedź: L = 4,167

Pierwsze zastosowanie

5·sin 5x/(6x) → 0/0

Drugie zastosowanie

25·cos 5x/6

Podstaw x = 0

L = 25/6 = 4,167

Odpowiedź

L = 4,167

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −1,926

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Podstaw

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Odpowiedź

f′(1,5) = −1,926

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −3

Pochodna

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −3 lub x = 1

Które jest które

f″(x) = 6x + 6: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Odpowiedź

x = −3

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 1497 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 35x + 16000/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 32000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(16000/35) = 21,38 m

y = 800/21,38 = 37,42 m

Koszt minimalny

C = 35·21,38 + 16000/21,38 = €1497

Odpowiedź

C = €1497

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 5800 €

Funkcja zysku

P(q) = 70q − (1400 + 46q + 0,02q²) = −0,02q² + 24q − 1400

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,04 < 0, więc jest to maksimum.

24 − 0,04q = 0 → q = 600

Maksymalny zysk

P = 24·600 − 0,02·600² − 1400 = €5800

Odpowiedź

P = €5800

7.Całki

Odpowiedź: I = 6,963

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^0,5x/0,5

Podstaw granice

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Odpowiedź

I = 6,963

8.Całki

Odpowiedź: I = 12,78

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Pierwsza runda

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Druga runda

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Granice

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Odpowiedź

I = 12,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1