Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (√(4x² + 5x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 5x) − 2xx → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x³·e^−x. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x³·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 12x² + 36x − 1. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ − 12x² + 36x − 1

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Prostokątna działka o powierzchni 200 m² jest ogrodzona ze wszystkich czterech stron. Bok od ulicy o długości x kosztuje €25 za metr; pozostałe trzy boki kosztują €8 za metr. Wyznacz minimalny koszt całkowity C.

A = 200 m²€25/m€8/m

C = €

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €30 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 300 + 20q + 0,02q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €30C = 300 + 20q + 0,02q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁴ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 4]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1,25

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Pomnóż przez sprzężenie

f(x) = 5x/(√(4x² + 5x) + 2x)

Podziel przez x

f(x) = 5/(√(4 + 5/x) + 2)

Niech x → ∞

L = 5/(2 + 2) = 1,25

Odpowiedź

L = 1,25

2.Granice

Odpowiedź: L = 4

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[cos x]

Podstaw x = 0

L = 4/1 = 4

Odpowiedź

L = 4

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = 0,7531

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Podstaw

f′(1,5) = 0,2231·(6,75 + (−3,375)) = 0,7531

Odpowiedź

f′(1,5) = 0,7531

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 2

Pochodna

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 2 lub x = 6

Które jest które

f″(x) = 6x − 24: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 2

Odpowiedź

x = 2

5.Optymalizacja

Odpowiedź: C = 649,9 €

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Koszt jako funkcja x

C(x) = 33x + 3200/x

Przyrównaj pochodną do zera

C″(x) = 6400/x³ > 0, więc jest to minimum.

x = √(3200/33) = 9,847 m

y = 200/9,847 = 20,31 m

Koszt minimalny

C = 33·9,847 + 3200/9,847 = €649,9

Odpowiedź

C = €649,9

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 950 €

Funkcja zysku

P(q) = 30q − (300 + 20q + 0,02q²) = −0,02q² + 10q − 300

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,04 < 0, więc jest to maksimum.

10 − 0,04q = 0 → q = 250

Maksymalny zysk

P = 10·250 − 0,02·250² − 300 = €950

Odpowiedź

P = €950

7.Całki

Odpowiedź: I = 2,773

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 4·ln x

Podstaw granice

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2,773

Odpowiedź

I = 2,773

8.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Punkty przecięcia

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1