Analiza matematyczna 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (−3x³ − 4x − 6)/(3x³ + 2x + 2).

f(x) = (−3x³ − 4x − 6)/(3x³ + 2x + 2)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(3x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(3x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (2x + 3)⁵. Wyznacz f′(0).

f(x) = (2x + 3)⁵x = 0

f′(0) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 9x² + 15x + 2. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 2

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 13500 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 13500 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €70 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1400 + 58q + 0,01q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €70C = 1400 + 58q + 0,01q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₁⁴ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 4]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = −1

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(−3 + (−4)/x² + (−6)/x³)/(3 + 2/x² + 2/x³)

Niech x → ∞

L = −3/3 = −1

Odpowiedź

L = −1

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 1,667

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[3·cos 3x]

Podstaw x = 0

L = 5/3 = 1,667

Odpowiedź

L = 1,667

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0) = 810

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 5·(2x + 3)⁴·2

Podstaw

f′(0) = 5·3⁴·2 = 810

Odpowiedź

f′(0) = 810

4.Pochodne

Odpowiedź: x = 5

Pochodna

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 1 lub x = 5

Które jest które

f″(x) = 6x − 18: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

Odpowiedź

x = 5

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 30 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 54000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Wysokość i pole

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Odpowiedź

x = 30 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 2200 €

Funkcja zysku

P(q) = 70q − (1400 + 58q + 0,01q²) = −0,01q² + 12q − 1400

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,02 < 0, więc jest to maksimum.

12 − 0,02q = 0 → q = 600

Maksymalny zysk

P = 12·600 − 0,01·600² − 1400 = €2200

Odpowiedź

P = €2200

7.Całki

Odpowiedź: I = 1,386

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = ln x

Podstaw granice

I = (ln 4 − ln 1) = ln 4 = 1,386

Odpowiedź

I = 1,386

8.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1